Простейшие дифференциальные уравнения · 11 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПростейшие дифференциальные уравнения

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая после подстановки превращает уравнение в верное равенство.

Для простейшего уравнения y′ = ky скорость изменения пропорциональна самой величине, поэтому решения имеют экспоненциальный вид.

В теме «Простейшие дифференциальные уравнения» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию с её производными и описывает изменение величины во времени.

Полное решение на уровне 11 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Уравнение y′ = ky утверждает: за одинаковое малое время величина меняется на одинаковую долю от текущего значения. Именно таким свойством обладает экспонента, потому что её производная пропорциональна ей самой.

Схема к теме

Алгоритм: Простейшие дифференциальные уравнения

1. Определить — тип уравнения
2. Записать — общее решение
3. Найти постоянную — из начального условия

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Для простейшего уравнения y′ = ky скорость изменения пропорциональна самой величине, поэтому решения имеют экспоненциальный вид.

Опорная формула

y'=ky\quad\Rightarrow\quad y=Ce^{kx}

Формула словами

Если скорость изменения y равна k, умноженному на само y, то функция имеет вид C, умноженное на e в степени kx.

Общее решение простейшего уравнения экспоненциального роста или убывания.

Расшифровка

Обозначения и термины

y(x): неизвестная функция
y′: скорость изменения функции
k: коэффициент роста или убывания
C: постоянная, определяемая начальным условием

Алгоритм

Как решать задачи

определить тип уравнения
записать общее решение
найти постоянную из начального условия

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите решение y′ = 2y, если y(0) = 3.

Общее решение имеет вид y = Ce²ˣ.
Из y(0) = C = 3 получаем значение постоянной.

Ответ: y = 3e²ˣ

Пример 2

Решите y′ = −3y при y(0) = 2.

Общее решение: y = Ce⁻³ˣ.
Из y(0) = C получаем C = 2.
Отрицательный показатель означает убывание.

Ответ: y = 2e⁻³ˣ

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать производную за обычный множитель
терять произвольную постоянную
не проверять начальное условие

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Простейшие дифференциальные уравнения» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать производную за обычный множитель

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Решением дифференциального уравнения называется функция, которая после подстановки превращает уравнение в верное равенство.
Вы расшифровали математическую запись словами: Если скорость изменения y равна k, умноженному на само y, то функция имеет вид C, умноженное на e в степени kx.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…