Формулы сокращённого умножения · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюФормулы сокращённого умножения

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.

Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.

Формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов следуют из раскрытия скобок. Их можно применять в обе стороны: раскрывать выражение или раскладывать многочлен на множители.

Перед выбором формулы нужно распознать её структуру целиком. В (a + b)² средний член равен 2ab, а a² − b² раскладывается в произведение (a − b)(a + b).

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).

Схема к теме

Алгоритм: Формулы сокращённого умножения

Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.

1. Определить — структуру выражения
2. Раскрыть — скобки или разложить на множители
3. Привести — подобные слагаемые

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.

Опорная формула

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Формула словами

Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.

Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.

Расшифровка

Обозначения и термины

P(x): многочлен от переменной x
deg P: наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
P(a) = 0: число a является корнем многочлена
x − a: делитель многочлена, если a — его корень

Алгоритм

Как решать задачи

определить структуру выражения
раскрыть скобки или разложить на множители
привести подобные слагаемые

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Раскройте скобки: (x + 3)².

Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.

Ответ: x² + 6x + 9

Пример 2

Разложите x² − 9 на множители.

Это разность квадратов: x² − 3².
Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).

Ответ: (x − 3)(x + 3)

Самопроверка

Типичные ошибки

забывать удвоенное произведение
складывать показатели при сложении
сокращать слагаемые вместо множителей

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Формулы сокращённого умножения» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: забывать удвоенное произведение

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.
Вы расшифровали математическую запись словами: Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…