Кусочно заданные функции · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюКусочно заданные функции

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Область определения содержит допустимые значения x, множество значений — все получающиеся значения y, а график изображает пары (x; y).

Преобразования y = f(x) + b и y = f(x − a) сдвигают график вертикально и горизонтально соответственно.

Графический метод переводит уравнение f(x) = g(x) в поиск абсцисс точек пересечения двух графиков. Число решений видно как число пересечений, но точные значения нужно подтвердить вычислением.

Для кусочной функции область определения разбивают по указанным условиям и на каждом промежутке строят только соответствующую часть графика, внимательно отмечая включённые и исключённые концы.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Функция задаёт правило соответствия: каждому допустимому x сопоставляется ровно одно y. График собирает все пары (x; f(x)), поэтому изменение формулы можно читать как геометрическое преобразование графика.

Схема к теме

Алгоритм: Кусочно заданные функции

1. Найти область — определения
2. Вычислить — характерные точки
3. Исследовать — нули, знаки и монотонность

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Преобразования y = f(x) + b и y = f(x − a) сдвигают график вертикально и горизонтально соответственно.

Опорная формула

y=kx+b

Формула словами

Значение линейной функции получают, умножив x на коэффициент наклона k и прибавив свободный член b.

Общий вид линейной функции.

Расшифровка

Обозначения и термины

y = f(x): значение функции при аргументе x
D(f): область допустимых аргументов
E(f): множество значений функции
k, b: наклон и сдвиг прямой y = kx + b

Алгоритм

Как решать задачи

найти область определения
вычислить характерные точки
исследовать нули, знаки и монотонность

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите нуль функции y = 2x − 6.

В точке пересечения с осью x значение y равно нулю.
Решаем 2x − 6 = 0.

Ответ: 3

Пример 2

Постройте y = (x − 2)² + 1 по графику y = x².

Замена x на x − 2 сдвигает параболу на 2 вправо.
Прибавление 1 сдвигает её на 1 вверх.
Вершина переходит из (0; 0) в (2; 1).

Ответ: Парабола с вершиной (2; 1), ветви направлены вверх

Самопроверка

Типичные ошибки

путать аргумент и значение
игнорировать область определения
сдвигать f(x − a) в неверную сторону

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Кусочно заданные функции» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать аргумент и значение

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Область определения содержит допустимые значения x, множество значений — все получающиеся значения y, а график изображает пары (x; y).
Вы расшифровали математическую запись словами: Значение линейной функции получают, умножив x на коэффициент наклона k и прибавив свободный член b.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…