Рациональные числа и степени · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюРациональные числа и степени

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.

Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Рациональные числа представимы дробью m/n при n ≠ 0; к ним относятся целые и конечные или периодические десятичные дроби. Действия подчиняются правилам знаков.

Степень с натуральным показателем — повторное умножение одинаковых множителей. Скобки принципиальны: (−2)⁴ положительно, а −2⁴ означает число, противоположное 2⁴.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.

Схема к теме

Алгоритм: Рациональные числа и степени

1. Определить — допустимые действия
2. Соблюсти — порядок вычислений
3. Оценить знак — и примерный размер ответа

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Опорная формула

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Формула словами

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.

Свойство степеней с одинаковым основанием.

Расшифровка

Обозначения и термины

aⁿ: произведение n одинаковых множителей a
√a: неотрицательное число, квадрат которого равен a
|a|: расстояние от a до нуля
−a: число, противоположное a

Алгоритм

Как решать задачи

определить допустимые действия
соблюсти порядок вычислений
оценить знак и примерный размер ответа

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите 2³ · 2⁴.

Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
2³ · 2⁴ = 2⁷.

Ответ: 128

Пример 2

Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.

При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
2⁴ = 16.

Ответ: 16

Самопроверка

Типичные ошибки

нарушать порядок действий
складывать основания степеней
терять знак отрицательного числа

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Рациональные числа и степени» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: нарушать порядок действий

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
Вы расшифровали математическую запись словами: При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…