Системы двух линейных уравнений
Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.
Решение системы — пара чисел, одновременно удовлетворяющая обоим уравнениям. Геометрически это координаты общей точки двух прямых; параллельные прямые решений не имеют, совпадающие имеют бесконечно много.
Метод подстановки выражает одну переменную через другую, а метод сложения устраняет переменную подходящим сложением уравнений. Полученную пару обязательно подставляют в оба исходных равенства.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.
Алгоритм: Системы двух линейных уравнений
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
- 1. Раскрыть — скобки и привести подобные
- 2. Перенести — неизвестные в одну часть
- 3. Разделить — на коэффициент при переменной
Опорная формула
В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
Корень линейного уравнения при a ≠ 0.Расшифровка
Обозначения и термины
- x
- неизвестная величина
- a
- коэффициент при неизвестной
- b
- свободный член
- x = −b/a
- решение при a ≠ 0
Алгоритм
Как решать задачи
- раскрыть скобки и привести подобные
- перенести неизвестные в одну часть
- разделить на коэффициент при переменной
От простого к сложному
Подробные примеры
Решите 3x − 7 = 11.
- Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
- Разделим обе части на 3.
Ответ: 6
Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.
- Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
- Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
- 5x = 15, значит x = 3.
Ответ: 3
Самопроверка
Типичные ошибки
- переносить слагаемое без смены знака
- делить только одно слагаемое
- не проверять особый случай нулевого коэффициента
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Системы двух линейных уравнений» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: переносить слагаемое без смены знака
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
- Вы расшифровали математическую запись словами: В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…