Доказательство неравенств · 8 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюДоказательство неравенств

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.

В теме «Доказательство неравенств» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.

Полное решение на уровне 8 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.

Схема к теме

Алгоритм: Доказательство неравенств

Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.

1. Перенести — выражения в одну часть
2. Найти граничные — точки
3. Определить — знаки на промежутках

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.

Опорная формула

a<b\quad\Rightarrow\quad -a>-b

Формула словами

Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.

Изменение направления неравенства при умножении на −1.

Расшифровка

Обозначения и термины

<, >: строгое сравнение; граница не входит
≤, ≥: нестрогое сравнение; граница входит
(a; b): открытый промежуток
[a; b]: отрезок с включёнными концами

Алгоритм

Как решать задачи

перенести выражения в одну часть
найти граничные точки
определить знаки на промежутках

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите −2x > 6.

Делим обе части на −2.
Меняем знак неравенства на противоположный.

Ответ: x < −3

Пример 2

Решите −3x + 4 ≥ 10.

Переносим 4: −3x ≥ 6.
Делим на −3 и меняем знак неравенства.
Получаем x ≤ −2.

Ответ: (−∞; −2]

Самопроверка

Типичные ошибки

не менять знак при делении на отрицательное число
записывать только границы без промежутка
включать точку при строгом знаке

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Доказательство неравенств» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: не менять знак при делении на отрицательное число

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.
Вы расшифровали математическую запись словами: Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…