Квадратные корни и действительные числа
Квадратный корень обращает возведение в квадрат и позволяет точно описывать длины и числа, которые не выражаются конечной десятичной дробью.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
Арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; в действительных числах он существует только при a ≥ 0.
Из равенства x² = a при a > 0 следуют два решения x = ±√a, но запись √a обозначает только неотрицательное значение; поэтому √(a²) = |a|.
Арифметический квадратный корень √a определён при a ≥ 0 и всегда неотрицателен. Равенство √(a²) = |a| учитывает оба возможных знака исходного числа.
Иррациональные числа нельзя записать конечной или периодической десятичной дробью, но их можно приближённо расположить на числовой прямой. Для √20 используют границы 4² < 20 < 5².
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Квадрат неотрицателен для любого действительного числа, поэтому действительного корня из отрицательного числа нет. Два противоположных числа имеют одинаковый квадрат, что объясняет знак ± в уравнении x² = a и модуль в тождестве √(a²) = |a|.
Алгоритм: Квадратные корни и действительные числа
Арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; в действительных числах он существует только при a ≥ 0.
- 1. Проверить — неотрицательность подкоренного выражения
- 2. Выделить — из подкоренного числа полный квадрат
- 3. Применить — свойства корней и упростить запись
- 4. Проверить — знак и оценить результат между соседними целыми
Опорная формула
Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их квадратных корней.
Связь квадратного корня с модулем и правило корня из произведения неотрицательных множителей.Расшифровка
Обозначения и термины
- √a
- арифметический, то есть неотрицательный, квадратный корень
- a ≥ 0
- условие существования √a в действительных числах
- |a|
- неотрицательный модуль числа a
- x = ±√a
- два корня уравнения x² = a при a > 0
Алгоритм
Как решать задачи
- проверить неотрицательность подкоренного выражения
- выделить из подкоренного числа полный квадрат
- применить свойства корней и упростить запись
- проверить знак и оценить результат между соседними целыми
От простого к сложному
Подробные примеры
Упростите √72.
- Разложим 72 = 36 · 2, где 36 — полный квадрат.
- √72 = √36 · √2.
- √36 = 6, поэтому получаем 6√2.
Ответ: 6√2
Сравните √45 и 7 без калькулятора.
- Оба числа неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты.
- (√45)² = 45, а 7² = 49.
- Так как 45 < 49, то √45 < 7.
Ответ: √45 < 7
Самопроверка
Типичные ошибки
- писать ±√a вместо арифметического корня √a
- заменять √(a²) на a без учёта отрицательных a
- складывать корни по ложному правилу √(a + b) = √a + √b
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Квадратные корни и действительные числа» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: писать ±√a вместо арифметического корня √a
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; в действительных числах он существует только при a ≥ 0.
- Вы расшифровали математическую запись словами: Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их квадратных корней.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…