Квадратные корни и действительные числа
Квадратный корень обращает возведение в квадрат и позволяет точно описывать длины и числа, которые не выражаются конечной десятичной дробью.
Главная идея
Что нужно понять
Арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; в действительных числах он существует только при a ≥ 0.
Из равенства x² = a при a > 0 следуют два решения x = ±√a, но запись √a обозначает только неотрицательное значение; поэтому √(a²) = |a|.
Арифметический квадратный корень √a определён при a ≥ 0 и всегда неотрицателен. Равенство √(a²) = |a| учитывает оба возможных знака исходного числа.
Иррациональные числа нельзя записать конечной или периодической десятичной дробью, но их можно приближённо расположить на числовой прямой. Для √20 используют границы 4² < 20 < 5².
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Квадрат неотрицателен для любого действительного числа, поэтому действительного корня из отрицательного числа нет. Два противоположных числа имеют одинаковый квадрат, что объясняет знак ± в уравнении x² = a и модуль в тождестве √(a²) = |a|.
Опорная формула
Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их квадратных корней.
Связь квадратного корня с модулем и правило корня из произведения неотрицательных множителей.Расшифровка
Обозначения и термины
- √a
- арифметический, то есть неотрицательный, квадратный корень
- a ≥ 0
- условие существования √a в действительных числах
- |a|
- неотрицательный модуль числа a
- x = ±√a
- два корня уравнения x² = a при a > 0
Алгоритм
Как решать задачи
- проверить неотрицательность подкоренного выражения
- выделить из подкоренного числа полный квадрат
- применить свойства корней и упростить запись
- проверить знак и оценить результат между соседними целыми
От простого к сложному
Подробные примеры
Упростите √72.
- Разложим 72 = 36 · 2, где 36 — полный квадрат.
- √72 = √36 · √2.
- √36 = 6, поэтому получаем 6√2.
Ответ: 6√2
Сравните √45 и 7 без калькулятора.
- Оба числа неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты.
- (√45)² = 45, а 7² = 49.
- Так как 45 < 49, то √45 < 7.
Ответ: √45 < 7
Самопроверка
Типичные ошибки
- писать ±√a вместо арифметического корня √a
- заменять √(a²) на a без учёта отрицательных a
- складывать корни по ложному правилу √(a + b) = √a + √b
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.