Степень с целым показателем · 8 класс

Главная идея

Что нужно понять

Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.

Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Отрицательный показатель задаёт обратное число: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Нулевой показатель даёт a⁰ = 1 также только для ненулевого основания.

Правила произведения, частного и степени степени действуют для одинаковых оснований с учётом ОДЗ. Отрицательный показатель не делает само значение автоматически отрицательным.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.

Опорная формула

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Формула словами

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.

Свойство степеней с одинаковым основанием.

Расшифровка

Обозначения и термины

aⁿ: произведение n одинаковых множителей a
√a: неотрицательное число, квадрат которого равен a
|a|: расстояние от a до нуля
−a: число, противоположное a

Алгоритм

Как решать задачи

определить допустимые действия
соблюсти порядок вычислений
оценить знак и примерный размер ответа

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите 2³ · 2⁴.

Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
2³ · 2⁴ = 2⁷.

Ответ: 128

Пример 2

Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.

При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
2⁴ = 16.

Ответ: 16

Самопроверка

Типичные ошибки

нарушать порядок действий
складывать основания степеней
терять знак отрицательного числа