Алгебраические дроби · 8 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюАлгебраические дроби

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Алгебраическая дробь P/Q — частное двух многочленов; она определена при Q ≠ 0. Значение дроби находят подстановкой заданных значений переменных после проверки исходного знаменателя.

Сначала записывают ОДЗ. Сокращать можно общие ненулевые множители, а не слагаемые. После сокращения исходные запреты сохраняются; для сложения используют общий знаменатель.

Алгебраическая дробь определена только там, где её знаменатель не равен нулю. ОДЗ записывают до сокращения, потому что преобразование не возвращает исключённые исходной дробью значения.

Сокращают общие множители числителя и знаменателя после разложения на множители. При сложении находят общий знаменатель и домножают каждую дробь на недостающие множители.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Равенство AC/BC = A/B верно при B ≠ 0 и C ≠ 0. Сокращение не делает исходную дробь определённой при C = 0. Например, (x² − 9)/(x − 3) равно x + 3 только при x ≠ 3. Числовые дроби и проценты — предпосылка: 15% от 200 равны 30, а 15% от 240 равны 36; теперь те же действия выполняют с выражениями и их ОДЗ.

Схема к теме

Алгоритм: Алгебраические дроби

1. Записать — ненулевые знаменатели исходных дробей
2. Разложить — на множители и сократить общие ненулевые множители либо привести к общему знаменателю
3. Подставить — заданные значения и выполнить действия
4. Проверить — исходную ОДЗ и смысл ответа

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Сначала записывают ОДЗ. Сокращать можно общие ненулевые множители, а не слагаемые. После сокращения исходные запреты сохраняются; для сложения используют общий знаменатель.

Опорная формула

\frac{AC}{BC}=\frac AB,\quad B\ne0,\;C\ne0;\qquad\frac AB+\frac CD=\frac{AD+BC}{BD},\quad BD\ne0

Формула словами

Общий ненулевой множитель числителя и знаменателя можно сократить. Для сложения дробей приводят их к общему знаменателю, который должен быть ненулевым.

Сокращение общего множителя и сложение алгебраических дробей с сохранением ОДЗ.

Расшифровка

Обозначения и термины

P(x)/Q(x): алгебраическая дробь
Q(x) ≠ 0: исходное ограничение на знаменатель
AC/BC = A/B: сокращение общего множителя при B ≠ 0, C ≠ 0
P(a)/Q(a): значение при x = a, если Q(a) ≠ 0

Алгоритм

Как решать задачи

записать ненулевые знаменатели исходных дробей
разложить на множители и сократить общие ненулевые множители либо привести к общему знаменателю
подставить заданные значения и выполнить действия
проверить исходную ОДЗ и смысл ответа

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите значение (a² − 9)/(a − 3) при a = 5.

ОДЗ: a ≠ 3, заданное a = 5 допустимо.
a² − 9 = (a − 3)(a + 3). При a ≠ 3 дробь равна a + 3.
Подставляем 5: 5 + 3 = 8. В исходной дроби (25 − 9)/(5 − 3) = 16/2 = 8.

Ответ: 8

Пример 2

Вычислите значение 1/x + 1/(x + 1) при x = 2, предварительно упростив выражение.

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1.
Общий знаменатель x(x + 1); сумма равна (x + 1 + x)/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x(x + 1)).
При x = 2 получаем 5/6. Прямая проверка: 1/2 + 1/3 = 5/6.

Ответ: (2x + 1)/(x(x + 1)); при x = 2 — 5/6

Самопроверка

Типичные ошибки

сокращать слагаемые вместо множителей
забывать исходную ОДЗ после сокращения
складывать числители дробей с разными знаменателями без приведения

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Алгебраические дроби» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: сокращать слагаемые вместо множителей

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Алгебраическая дробь P/Q — частное двух многочленов; она определена при Q ≠ 0. Значение дроби находят подстановкой заданных значений переменных после проверки исходного знаменателя.
Вы расшифровали математическую запись словами: Общий ненулевой множитель числителя и знаменателя можно сократить. Для сложения дробей приводят их к общему знаменателю, который должен быть ненулевым.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…