Математическая индукция и сходимость последовательностей · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюМатематическая индукция и сходимость последовательностей

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.

Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.

Доказательство по индукции состоит из базы и перехода. База подтверждает утверждение для первого номера, а переход показывает: если оно верно для n, то обязательно верно и для n + 1.

Нельзя ограничиваться проверкой нескольких примеров — именно переход распространяет утверждение на бесконечное множество натуральных чисел.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена.

Схема к теме

Алгоритм: Математическая индукция и сходимость последовательностей

1. Определить — вид последовательности
2. Найти первый — член и разность или знаменатель
3. Подставить — номер в формулу

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.

Опорная формула

a_n=a_1+(n-1)d

Формула словами

Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Расшифровка

Обозначения и термины

aₙ: член последовательности с номером n
d: разность арифметической прогрессии
q: знаменатель геометрической прогрессии
Sₙ: сумма первых n членов

Алгоритм

Как решать задачи

определить вид последовательности
найти первый член и разность или знаменатель
подставить номер в формулу

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
a₁₀ = 3 + 9 · 4.

Ответ: 39

Пример 2

Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …

Это арифметическая прогрессия с d = 3.
a₈ = a₁ + 7d.
a₈ = 5 + 7 · 3.

Ответ: 26

Самопроверка

Типичные ошибки

использовать n вместо n − 1
путать разность со знаменателем
округлять денежные значения слишком рано

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Математическая индукция и сходимость последовательностей» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: использовать n вместо n − 1

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.
Вы расшифровали математическую запись словами: Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…