Проценты, вклады и сложный процент
Сложный процент описывает повторяющееся изменение, при котором каждый новый процент начисляется уже на изменившуюся сумму.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
При сложном проценте сумма после каждого периода умножается на постоянный коэффициент роста или снижения, поэтому последовательность сумм является геометрической прогрессией.
При росте на p% за период используйте коэффициент 1 + p/100, при снижении — 1 − p/100; за n периодов коэффициент возводится в степень n.
При сложном проценте начисление каждого периода добавляется к капиталу и само участвует в следующем начислении. Поэтому рост описывает геометрическая, а не арифметическая прогрессия.
Коэффициент одного периода равен 1 + p/100 при росте и 1 − p/100 при снижении. За n одинаковых периодов начальную сумму умножают на этот коэффициент в степени n.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
После первого начисления база следующего периода уже включает полученный процент. Поэтому одинаковая процентная ставка даёт разные абсолютные прибавки, но одно и то же отношение соседних сумм.
Алгоритм: Проценты, вклады и сложный процент
При сложном проценте сумма после каждого периода умножается на постоянный коэффициент роста или снижения, поэтому последовательность сумм является геометрической прогрессией.
- 1. Установить — начальную сумму, ставку одного периода и число начислений
- 2. Перевести — процент в коэффициент роста или снижения
- 3. Возвести — коэффициент в степень числа периодов
- 4. Умножить — на начальную сумму и округлить только итог по условию
Опорная формула
Конечная сумма равна начальной сумме, умноженной на коэффициент одного периода в степени, равной числу начислений.
Формула сложного процентного роста при неизменной ставке p% за период.Расшифровка
Обозначения и термины
- S₀
- начальная сумма
- p
- ставка за один период в процентах
- n
- число одинаковых периодов
- Sₙ
- сумма после n начислений
Алгоритм
Как решать задачи
- установить начальную сумму, ставку одного периода и число начислений
- перевести процент в коэффициент роста или снижения
- возвести коэффициент в степень числа периодов
- умножить на начальную сумму и округлить только итог по условию
От простого к сложному
Подробные примеры
Вклад 100 000 ₽ открыт под 10% годовых с ежегодной капитализацией на 2 года. Найдите сумму.
- Коэффициент одного года: 1 + 10/100 = 1,1.
- За два года коэффициент равен 1,1² = 1,21.
- 100 000 · 1,21 = 121 000.
Ответ: 121 000 ₽
Стоимость 800 000 ₽ снижается на 15% в год. Найдите стоимость через 2 года.
- Коэффициент снижения: 1 − 15/100 = 0,85.
- За два года: 0,85² = 0,7225.
- 800 000 · 0,7225 = 578 000.
Ответ: 578 000 ₽
Самопроверка
Типичные ошибки
- умножать ставку на число периодов вместо возведения коэффициента в степень
- начислять каждый процент только на первоначальную сумму
- округлять промежуточные значения и накапливать ошибку
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Проценты, вклады и сложный процент» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: умножать ставку на число периодов вместо возведения коэффициента в степень
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: При сложном проценте сумма после каждого периода умножается на постоянный коэффициент роста или снижения, поэтому последовательность сумм является геометрической прогрессией.
- Вы расшифровали математическую запись словами: Конечная сумма равна начальной сумме, умноженной на коэффициент одного периода в степени, равной числу начислений.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…