Арифметическая и геометрическая прогрессии · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюАрифметическая и геометрическая прогрессии

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.

Для n ≥ 1 в арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d и Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. В геометрической прогрессии с ненулевыми членами bₙ = b₁qⁿ⁻¹, q ≠ 0; при q ≠ 1 сумма Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), а при q = 1 сумма равна nb₁.

В арифметической прогрессии постоянна разность d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. В геометрической постоянен знаменатель q, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Суммы первых n членов имеют разные формулы: арифметическая использует среднее крайних членов, геометрическая — степень q. Сначала нужно доказать вид последовательности.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена. Для суммы 3 + 7 + 11 среднее крайних членов равно 7, поэтому сумма равна 3 · 7 = 21. Для 2 + 6 + 18 знаменатель q = 3, поэтому сумма 2 · (3³ − 1)/(3 − 1) = 26. Сумма n одинаковых членов при q = 1 равна первому члену, умноженному на n; деление на q − 1 здесь недопустимо.

Схема к теме

Алгоритм: Арифметическая и геометрическая прогрессии

1. Определить — вид последовательности
2. Найти первый — член и разность или знаменатель
3. Подставить — номер в формулу

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Для n ≥ 1 в арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d и Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. В геометрической прогрессии с ненулевыми членами bₙ = b₁qⁿ⁻¹, q ≠ 0; при q ≠ 1 сумма Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), а при q = 1 сумма равна nb₁.

Опорная формула

a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2;\qquad b_n=b_1q^{n-1}

Формула словами

К первому члену арифметической прогрессии прибавляют n минус один разностей. Её сумма равна среднему первого и последнего членов, умноженному на их количество. Геометрический член получают умножением первого члена на q в степени n минус один; формулу суммы выбирают отдельно для q, равного единице.

Члены арифметической и геометрической прогрессий и сумма арифметической прогрессии.

Расшифровка

Обозначения и термины

aₙ: член последовательности с номером n
d: разность арифметической прогрессии
q: знаменатель геометрической прогрессии
Sₙ: сумма первых n членов

Алгоритм

Как решать задачи

определить вид последовательности
найти первый член и разность или знаменатель
подставить номер в формулу

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
a₁₀ = 3 + 9 · 4.

Ответ: 39

Пример 2

Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …

Это арифметическая прогрессия с d = 3.
a₈ = a₁ + 7d.
a₈ = 5 + 7 · 3.

Ответ: 26

Самопроверка

Типичные ошибки

использовать n вместо n − 1
путать разность со знаменателем
округлять денежные значения слишком рано

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: использовать n вместо n − 1

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.
Вы расшифровали математическую запись словами: К первому члену арифметической прогрессии прибавляют n минус один разностей. Её сумма равна среднему первого и последнего членов, умноженному на их количество. Геометрический член получают умножением первого члена на q в степени n минус один; формулу суммы выбирают отдельно для q, равного единице.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…