Квадратные и рациональные неравенства · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

Решение неравенства — множество допустимых x, при которых квадратный многочлен или рациональное выражение имеет требуемый знак.

Перенесите всё в одну часть, разложите выражение на множители, отметьте критические точки и определите знак на каждом промежутке; нули знаменателя исключаются при любом знаке.

Метод интервалов начинается с переноса в одну часть, разложения числителя и знаменателя на множители и отметки нулей и запрещённых точек на прямой.

Знак выражения постоянен внутри каждого промежутка между критическими точками. Нули числителя включают только при нестрогом знаке, а нули знаменателя не включают никогда.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Непрерывный множитель не меняет знак, пока не пройдёт через свой ноль. Поэтому произведение или частное сохраняет знак внутри промежутка между соседними критическими точками, и достаточно проверить одну точку каждого промежутка.

Опорная формула

\frac{P(x)}{Q(x)}\gtreqless0:\quad P(x)=0\ \text{или}\ Q(x)=0\ \Longrightarrow\ \text{критические точки}

Формула словами

Критические точки получают из нулей числителя и знаменателя, после чего на каждом получившемся промежутке определяют знак всего выражения.

Нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на интервалы постоянного знака.

Расшифровка

Обозначения и термины

P(x): многочлен в числителе или левой части
Q(x) ≠ 0: запрещённые точки рационального выражения
(a; b): промежуток без включённых границ
[a; b]: промежуток с включёнными допустимыми границами

Алгоритм

Как решать задачи

перенести выражения в одну часть и записать ОДЗ
разложить числитель и знаменатель на множители
нанести все критические точки на числовую прямую
определить знаки и выбрать интервалы с учётом строгости границ

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите (x − 2)(x + 3) ≤ 0.

Нули множителей: x = −3 и x = 2.
Произведение положительно снаружи и отрицательно между корнями.
Знак нестрогий, поэтому оба нуля включаем.

Ответ: [−3; 2]

Пример 2

Решите (x − 1)/(x + 2) > 0.

Критические точки: x = 1 — нуль числителя, x = −2 — нуль знаменателя.
Знаки на интервалах: плюс на (−∞; −2), минус на (−2; 1), плюс на (1; +∞).
Неравенство строгое, обе точки исключены.

Ответ: (−∞; −2) ∪ (1; +∞)

Самопроверка

Типичные ошибки

включать в ответ нуль знаменателя
определять знак только по числителю
не учитывать строгий или нестрогий знак в граничных точках