Умблик
Математика · 9 класс
К программе 9 класса
Алгебра · 9 класс

Системы уравнений

Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.

15–20 минут3 задания
Умблик показывает математические модели на доске
Посмотрите на идеюСистемы уравнений

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.

Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.

Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению одновременно. Помимо подстановки и сложения используют графический метод: решения соответствуют точкам пересечения графиков.

Нелинейная система может иметь несколько пар решений, поэтому нельзя останавливаться после первой. Каждую пару проверяют в обоих исходных уравнениях и учитывают ограничения.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.

Схема к теме

Алгоритм: Системы уравнений

Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.

Алгоритм: Системы уравненийЛинейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.1Раскрытьскобки и привестиподобные2Перенестинеизвестные в однучасть3Разделитьна коэффициент припеременной
  • 1. Раскрыть — скобки и привести подобные
  • 2. Перенести — неизвестные в одну часть
  • 3. Разделить — на коэффициент при переменной
Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.

Опорная формула

ax+b=0⇒x=−baax+b=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac ba
Формула словами

В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.

Корень линейного уравнения при a ≠ 0.

Расшифровка

Обозначения и термины

x
неизвестная величина
a
коэффициент при неизвестной
b
свободный член
x = −b/a
решение при a ≠ 0

Алгоритм

Как решать задачи

  1. раскрыть скобки и привести подобные
  2. перенести неизвестные в одну часть
  3. разделить на коэффициент при переменной

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите 3x − 7 = 11.

  1. Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
  2. Разделим обе части на 3.

Ответ: 6

Пример 2

Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.

  1. Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
  2. Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
  3. 5x = 15, значит x = 3.

Ответ: 3

Самопроверка

Типичные ошибки

  • переносить слагаемое без смены знака
  • делить только одно слагаемое
  • не проверять особый случай нулевого коэффициента
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Системы уравнений» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: переносить слагаемое без смены знака

В хорошем объяснении есть:

  • Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
  • Вы расшифровали математическую запись словами: В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
  • Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…