Уравнения высших степеней и дробно-рациональные уравнения · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

Дробно-рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе, а уравнение высшей степени — многочлен степени выше второй; решением является допустимое значение, обращающее исходное уравнение в верное равенство.

Сначала записывают ОДЗ, затем устраняют знаменатели или вводят замену переменной; после решения преобразованного уравнения каждый кандидат проверяют в исходной записи.

Уравнение высшей степени часто сводят к квадратному заменой переменной или разложением многочлена на множители. После обратной замены проверяют все полученные значения.

В дробно-рациональном уравнении сначала записывают ОДЗ, затем умножают на общий знаменатель. Корни преобразованного уравнения, обращающие исходный знаменатель в ноль, отбрасывают.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Умножение на общий знаменатель равносильно только там, где этот знаменатель не равен нулю. Замена t = x² сжимает повторяющуюся структуру уравнения, но после нахождения t требует обратного решения x² = t и отбора действительных значений.

Опорная формула

\frac{P(x)}{Q(x)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad P(x)=0,\;Q(x)\ne0

Формула словами

Чтобы рациональная дробь была равна нулю, числитель должен обратиться в ноль, а знаменатель при этом обязан остаться ненулевым.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.

Расшифровка

Обозначения и термины

ОДЗ: множество значений, допустимых в исходном уравнении
P(x): многочлен в числителе
Q(x) ≠ 0: ограничение на знаменатель
t = x²: типичная замена для биквадратного уравнения

Алгоритм

Как решать задачи

записать ОДЗ и запрещённые значения
выбрать разложение на множители, общий знаменатель или замену переменной
решить полученное уравнение более низкой степени
вернуться к исходной переменной и проверить каждого кандидата по ОДЗ

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите (x² − 9)/(x − 3) = 0.

ОДЗ: x ≠ 3.
Для нуля дроби решаем x² − 9 = 0: x = −3 или x = 3.
Значение 3 запрещено знаменателем, остаётся x = −3.

Ответ: x = −3

Пример 2

Решите x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Вводим t = x², причём t ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0.
Получаем t = 1 или t = 4.
Из x² = 1 и x² = 4 получаем x = ±1, ±2.

Ответ: −2; −1; 1; 2

Самопроверка

Типичные ошибки

сокращать множитель до записи ОДЗ
принимать запрещённое значение знаменателя за корень
после замены t = x² забывать вернуться к переменной x