Квадратичная функция и парабола · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Число корней определяет дискриминант.

После вычисления дискриминанта используют формулу корней; найденные значения полезно проверить подстановкой.

График y = ax² + bx + c — парабола; знак a задаёт направление ветвей. Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a), а ординату получают подстановкой x₀ в функцию.

Нули функции являются корнями ax² + bx + c = 0, а ось симметрии проходит через вершину. По графику читают промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Полный квадрат ax² + bx + c можно преобразовать так, чтобы отдельно увидеть квадрат выражения и постоянную часть. Дискриминант возникает при этом преобразовании и показывает, пересекает ли парабола ось Ox в двух, одной или ни одной точке.

Опорная формула

D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}

Формула словами

Сначала из квадрата b вычитают четыре произведения a и c — это дискриминант. Корни получают, разделив минус b плюс или минус корень из дискриминанта на два a.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c: коэффициенты квадратного уравнения, a ≠ 0
D: дискриминант b² − 4ac
x₁, x₂: корни уравнения
(x₀; y₀): координаты вершины параболы

Алгоритм

Как решать задачи

привести уравнение к стандартному виду
найти дискриминант
вычислить и проверить корни

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите x² − 5x + 6 = 0.

D = 25 − 24 = 1.
x = (5 ± 1)/2.

Ответ: 2 и 3

Пример 2

Решите 2x² + x − 3 = 0.

D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.
x = (−1 ± 5)/4.
Получаем x₁ = 1, x₂ = −3/2.

Ответ: 1; −3/2

Самопроверка

Типичные ошибки

терять знак коэффициента b
делить только часть числителя на 2a
забывать условие a ≠ 0