Функции, последовательности и логика
Тригонометрия и функции, стереометрия, комбинаторика и распределения.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «обратные функции», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «прогрессии и сложные проценты», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «множества и логика», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Функции, графики и преобразования
Функция задаёт правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует единственное значение.
Область определения содержит допустимые значения x, множество значений — все получающиеся значения y, а график изображает пары (x; y).
Преобразования y = f(x) + b и y = f(x − a) сдвигают график вертикально и горизонтально соответственно.
Исследование функции начинается с области определения, нулей, знаков, чётности и монотонности. График должен отражать все найденные свойства, а не строиться только по случайным точкам.
Внешнее изменение f(x) + b сдвигает график по вертикали, внутреннее f(x − a) — по горизонтали. Коэффициенты перед функцией и аргументом отвечают за растяжения и отражения.
Почему это работает. Функция задаёт правило соответствия: каждому допустимому x сопоставляется ровно одно y. График собирает все пары (x; f(x)), поэтому изменение формулы можно читать как геометрическое преобразование графика.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Значение линейной функции получают, умножив x на коэффициент наклона k и прибавив свободный член b.
Общий вид линейной функции.- y = f(x)
- значение функции при аргументе x
- D(f)
- область допустимых аргументов
- E(f)
- множество значений функции
- k, b
- наклон и сдвиг прямой y = kx + b
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- найти область определения
- вычислить характерные точки
- исследовать нули, знаки и монотонность
Разбор по шагам
Два примера
Найдите нуль функции y = 2x − 6.
- В точке пересечения с осью x значение y равно нулю.
- Решаем 2x − 6 = 0.
Ответ: 3
Постройте y = (x − 2)² + 1 по графику y = x².
- Замена x на x − 2 сдвигает параболу на 2 вправо.
- Прибавление 1 сдвигает её на 1 вверх.
- Вершина переходит из (0; 0) в (2; 1).
Ответ: Парабола с вершиной (2; 1), ветви направлены вверх
Типичные ошибки
- путать аргумент и значение
- игнорировать область определения
- сдвигать f(x − a) в неверную сторону
Алгебра · подробный конспект
Последовательности и бесконечно убывающая прогрессия
Последовательность описывает упорядоченный набор чисел, а прогрессии задают важные модели линейного и экспоненциального изменения.
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.
Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.
Последовательность является функцией натурального аргумента и может задаваться формулой или рекуррентно. Для прогрессии сначала находят первый член и постоянную разность либо знаменатель.
Бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму только при |q| < 1. Тогда члены стремятся к нулю, а сумма равна b₁/(1 − q).
Почему это работает. Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.- aₙ
- член последовательности с номером n
- d
- разность арифметической прогрессии
- q
- знаменатель геометрической прогрессии
- Sₙ
- сумма первых n членов
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить вид последовательности
- найти первый член и разность или знаменатель
- подставить номер в формулу
Разбор по шагам
Два примера
Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
- a₁₀ = 3 + 9 · 4.
Ответ: 39
Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с d = 3.
- a₈ = a₁ + 7d.
- a₈ = 5 + 7 · 3.
Ответ: 26
Типичные ошибки
- использовать n вместо n − 1
- путать разность со знаменателем
- округлять денежные значения слишком рано
Вероятность и статистика · конспект
Логические утверждения
Переводим словесные условия в проверяемые утверждения и правильно строим отрицания.
Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.
Опорные записи
Формулы и условия применения
Отрицание одновременного выполнения означает нарушение хотя бы одного условия.
A достаточно для B; B необходимо для A. Обратное утверждение требует отдельной проверки.
Алгоритм
Как перейти от условия к ответу
- Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
- Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Разобранный пример
Кубик имеет числа 1–6. Сколько исходов удовлетворяют отрицанию условия «число больше 4»?
Подсказка: Отрицание — число не больше четырёх.
- Подходят 1,2,3,4.
- Всего 4 исхода.
Ответ: 4
Что проверить перед ответом
- Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Логика: условия, отрицание, И и ИЛИ».
- Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Сколько чисел от 1 до 6 одновременно чётные и больше 3?
Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.
Показать подсказку и решение
Найдите общую часть двух условий.
- Чётные 2,4,6; больше трёх 4,5,6.
- Общие 4 и 6, всего 2.
Ответ: 2
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.