Числа, степени и тригонометрия
Тригонометрия и функции, стереометрия, комбинаторика и распределения.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «корни и степени», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «тригонометрические формулы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «уравнения и неравенства», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Действительные числа, степени и корни
Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.
Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные и заполняют числовую прямую без пробелов. Сравнивать корни удобно возведением неотрицательных частей в одинаковую степень.
Свойства степеней и корней требуют условий: корень чётной степени из действительного числа определён для неотрицательного подкоренного выражения, а знаменатель не может быть нулём.
Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.
Свойство степеней с одинаковым основанием.- aⁿ
- произведение n одинаковых множителей a
- √a
- неотрицательное число, квадрат которого равен a
- |a|
- расстояние от a до нуля
- −a
- число, противоположное a
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить допустимые действия
- соблюсти порядок вычислений
- оценить знак и примерный размер ответа
Разбор по шагам
Два примера
Вычислите 2³ · 2⁴.
- Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
- 2³ · 2⁴ = 2⁷.
Ответ: 128
Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.
- При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
- При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
- 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Типичные ошибки
- нарушать порядок действий
- складывать основания степеней
- терять знак отрицательного числа
Алгебра · подробный конспект
Тригонометрические функции и формулы
Тригонометрия связывает углы с отношениями сторон и координатами точки на единичной окружности.
На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.
Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.
На единичной окружности cos x — абсцисса, sin x — ордината точки, поэтому sin²x + cos²x = 1. Знаки функций определяются четвертью.
Формулы сложения и приведения позволяют выразить значение сложного угла через знакомые углы. Перед преобразованием фиксируют единицы — градусы или радианы — и периодичность.
Почему это работает. На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — ордината. По теореме Пифагора x² + y² = 1, откуда сразу следует основное тождество sin² α + cos² α = 1.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.
Основное тригонометрическое тождество.- sin α
- ордината точки единичной окружности
- cos α
- абсцисса точки единичной окружности
- tg α
- отношение sin α к cos α
- π рад
- развёрнутый угол 180°
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить четверть и знак
- использовать подходящую формулу
- учесть периодичность решений
Разбор по шагам
Два примера
Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.
- sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
- В первой четверти синус положителен.
Ответ: 4/5
Найдите cos α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.
- cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25.
- cos² α = 16/25.
- Для острого угла косинус положителен.
Ответ: 4/5
Типичные ошибки
- терять знак при извлечении корня
- смешивать градусы и радианы
- забывать периодичность
Алгебра · подробный конспект
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.
Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.
При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.
Рациональные выражения требуют исключить нули знаменателей, а иррациональные — обеспечить допустимость корней. ОДЗ записывают до преобразований и используют при окончательном отборе.
Возведение в квадрат может добавить посторонние корни и не всегда является равносильным для неравенств. После получения кандидатов обязательны подстановка и проверка знаковых условий.
Почему это работает. Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.
Изменение направления неравенства при умножении на −1.- <, >
- строгое сравнение; граница не входит
- ≤, ≥
- нестрогое сравнение; граница входит
- (a; b)
- открытый промежуток
- [a; b]
- отрезок с включёнными концами
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- перенести выражения в одну часть
- найти граничные точки
- определить знаки на промежутках
Разбор по шагам
Два примера
Решите −2x > 6.
- Делим обе части на −2.
- Меняем знак неравенства на противоположный.
Ответ: x < −3
Решите −3x + 4 ≥ 10.
- Переносим 4: −3x ≥ 6.
- Делим на −3 и меняем знак неравенства.
- Получаем x ≤ −2.
Ответ: (−∞; −2]
Типичные ошибки
- не менять знак при делении на отрицательное число
- записывать только границы без промежутка
- включать точку при строгом знаке
Алгебра · подробный конспект
Тригонометрические уравнения
Тригонометрия связывает углы с отношениями сторон и координатами точки на единичной окружности.
На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.
Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.
Тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное семейство решений из-за периодичности функций. Частное решение превращают в общий ответ добавлением целого числа периодов.
После приведения к простейшему виду используют единичную окружность и симметрию точек. Деление на выражение с синусом или косинусом требует отдельно проверить случай, когда делитель равен нулю.
Почему это работает. На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — ордината. По теореме Пифагора x² + y² = 1, откуда сразу следует основное тождество sin² α + cos² α = 1.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.
Основное тригонометрическое тождество.- sin α
- ордината точки единичной окружности
- cos α
- абсцисса точки единичной окружности
- tg α
- отношение sin α к cos α
- π рад
- развёрнутый угол 180°
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить четверть и знак
- использовать подходящую формулу
- учесть периодичность решений
Разбор по шагам
Два примера
Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.
- sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
- В первой четверти синус положителен.
Ответ: 4/5
Найдите cos α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.
- cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25.
- cos² α = 16/25.
- Для острого угла косинус положителен.
Ответ: 4/5
Типичные ошибки
- терять знак при извлечении корня
- смешивать градусы и радианы
- забывать периодичность
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.