Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства · 10 класс

Главная идея

Что нужно понять

Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.

Рациональные выражения требуют исключить нули знаменателей, а иррациональные — обеспечить допустимость корней. ОДЗ записывают до преобразований и используют при окончательном отборе.

Возведение в квадрат может добавить посторонние корни и не всегда является равносильным для неравенств. После получения кандидатов обязательны подстановка и проверка знаковых условий.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.

Опорная формула

a<b\quad\Rightarrow\quad -a>-b

Формула словами

Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.

Изменение направления неравенства при умножении на −1.

Расшифровка

Обозначения и термины

<, >: строгое сравнение; граница не входит
≤, ≥: нестрогое сравнение; граница входит
(a; b): открытый промежуток
[a; b]: отрезок с включёнными концами

Алгоритм

Как решать задачи

перенести выражения в одну часть
найти граничные точки
определить знаки на промежутках

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите −2x > 6.

Делим обе части на −2.
Меняем знак неравенства на противоположный.

Ответ: x < −3

Пример 2

Решите −3x + 4 ≥ 10.

Переносим 4: −3x ≥ 6.
Делим на −3 и меняем знак неравенства.
Получаем x ≤ −2.

Ответ: (−∞; −2]

Самопроверка

Типичные ошибки

не менять знак при делении на отрицательное число
записывать только границы без промежутка
включать точку при строгом знаке