Тригонометрические уравнения · 10 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюТригонометрические уравнения

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.

Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.

Тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное семейство решений из-за периодичности функций. Частное решение превращают в общий ответ добавлением целого числа периодов.

После приведения к простейшему виду используют единичную окружность и симметрию точек. Деление на выражение с синусом или косинусом требует отдельно проверить случай, когда делитель равен нулю.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — ордината. По теореме Пифагора x² + y² = 1, откуда сразу следует основное тождество sin² α + cos² α = 1.

Схема к теме

Алгоритм: Тригонометрические уравнения

На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.

1. Определить — четверть и знак
2. Использовать — подходящую формулу
3. Учесть — периодичность решений

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.

Опорная формула

\sin^2 x+\cos^2 x=1

Формула словами

Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.

Основное тригонометрическое тождество.

Расшифровка

Обозначения и термины

sin α: ордината точки единичной окружности
cos α: абсцисса точки единичной окружности
tg α: отношение sin α к cos α
π рад: развёрнутый угол 180°

Алгоритм

Как решать задачи

определить четверть и знак
использовать подходящую формулу
учесть периодичность решений

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.

sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
В первой четверти синус положителен.

Ответ: 4/5

Пример 2

Найдите cos α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.

cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25.
cos² α = 16/25.
Для острого угла косинус положителен.

Ответ: 4/5

Самопроверка

Типичные ошибки

терять знак при извлечении корня
смешивать градусы и радианы
забывать периодичность

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Тригонометрические уравнения» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: терять знак при извлечении корня

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.
Вы расшифровали математическую запись словами: Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…