УмбликМатематика
К маршруту 9 класса
Математика9 классБазовый курс 6 подробных конспектовНагрузка предмета в 9 классе: 204 ч, 6 ч/нед.: алгебра 102, геометрия 68, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Комбинаторика и случайные величины

Функции и прогрессии, координатно-векторная геометрия и случайные величины.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «перестановки и сочетания», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «испытания Бернулли», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «распределение, ожидание и дисперсия», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Вероятность и статистика · конспект

Перестановки

Упорядочиваем все различные объекты и следим, считаются ли позиции различимыми.

Простыми словами

Комбинаторика считает варианты без полного перечисления. Главные вопросы: важен ли порядок, разрешены ли повторения и сколько объектов выбирают.

Опорные записи

Формулы и условия применения

Pn=n!P_n=n!

Число линейных порядков всех n различных объектов.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Ответьте на три вопроса об порядке, повторениях и размере выбора, после чего выберите перестановки, размещения, сочетания или правило умножения.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Проверьте формулу на уменьшенном примере, где варианты легко выписать вручную.

Разобранный пример

Сколько порядков можно составить из трёх разных карточек?

Простой уровень

Подсказка: Каждая карточка используется один раз.

  1. Число равно 3!.
  2. 3×2×1=6.

Ответ: 6

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Перестановки без повторений».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Ответьте на три вопроса об порядке, повторениях и размере выбора, после чего выберите перестановки, размещения, сочетания или правило умножения.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте формулу на уменьшенном примере, где варианты легко выписать вручную.
Попробуйте самостоятельно

Шесть разных книг ставят в ряд, одна заданная должна быть последней. Сколько порядков?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Последнее место уже занято.

  1. Свободные 5 книг переставляются 5! способами.
  2. 5!=120.

Ответ: 120

Полная статья и три уровня задач

2

Вероятность и статистика · конспект

Сочетания

Считаем выбор подмножества, когда порядок объектов не создаёт нового результата.

Простыми словами

Комбинаторика считает варианты без полного перечисления. Главные вопросы: важен ли порядок, разрешены ли повторения и сколько объектов выбирают.

Опорные записи

Формулы и условия применения

(nk)=n!k!(n−k)!,0≤k≤n\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad0\le k\le n

Число k-элементных подмножеств n различных элементов.

(nk)=(nn−k)\binom nk=\binom n{n-k}

Выбор включённых элементов равносилен выбору исключённых.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Ответьте на три вопроса об порядке, повторениях и размере выбора, после чего выберите перестановки, размещения, сочетания или правило умножения.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Проверьте формулу на уменьшенном примере, где варианты легко выписать вручную.

Разобранный пример

Сколько пар без порядка можно выбрать из 5 разных объектов?

Простой уровень

Подсказка: Упорядоченные пары считают каждую пару дважды.

  1. 5×4/2.
  2. Получаем 10.

Ответ: 10

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Сочетания без повторений».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Ответьте на три вопроса об порядке, повторениях и размере выбора, после чего выберите перестановки, размещения, сочетания или правило умножения.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте формулу на уменьшенном примере, где варианты легко выписать вручную.
Попробуйте самостоятельно

Сколько подмножеств размера 4 у множества из 7 элементов?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Используйте симметрию с выбором трёх.

  1. C(7,4)=C(7,3)=7×6×5/(3×2×1).
  2. Ответ 35.

Ответ: 35

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Схема Бернулли

Считаем ровно k успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью.

Простыми словами

Повторные испытания описывают серию однотипных попыток. Важно различать конкретный порядок успехов и само количество успехов в серии.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,…,nP(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,\ldots,n

Для 0 < p < 1 вероятность ровно k успехов в n испытаниях Бернулли.

(nk)=n!k!(n−k)!,0!=1\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad 0!=1

Число способов выбрать k позиций успехов среди n испытаний.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Для небольшого числа испытаний выпишите последовательности вручную и сравните их суммарную вероятность с формулой.

Разобранный пример

Честную монету независимо бросают три раза. Найдите вероятность ровно двух орлов.

Простой уровень

Подсказка: Два орла можно расположить на трёх позициях тремя способами.

  1. Условия Бернулли: n=3, p=1/2, k=2.
  2. Подходят ООР, ОРО, РОО — три равновероятные последовательности из восьми.
  3. Вероятность: 3 × (1/2)³ = 3/8.

Ответ: 3/8

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Схема Бернулли».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Для небольшого числа испытаний выпишите последовательности вручную и сравните их суммарную вероятность с формулой.
Попробуйте самостоятельно

Проводят четыре независимые попытки с вероятностью успеха 0,2 в каждой. Найдите вероятность ровно одного успеха.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Выберите одну позицию успеха и учтите три неудачи.

  1. Позицию единственного успеха выбирают 4 способами.
  2. Вероятность каждого такого порядка: 0,2 × 0,8³ = 0,1024.
  3. Сумма четырёх несовместимых вариантов: 4 × 0,1024 = 0,4096.

Ответ: 0,4096

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Закон распределения

Полное описание вероятностей случайной величины: таблица, функция распределения и плотность.

Простыми словами

Случайная величина ставит каждому исходу в соответствие число. Её распределение показывает не только возможные значения, но и вероятность каждого из них.

Опорные записи

Формулы и условия применения

pi≥0,∑ipi=1p_i\ge0,\qquad\sum_i p_i=1

Условия корректной таблицы полного дискретного закона.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Математическое ожидание должно находиться между минимальным и максимальным возможными значениями.

Разобранный пример

В полном законе X есть два значения с вероятностями 0.35 и a. Найдите a.

Простой уровень

Подсказка: Полная сумма вероятностей равна единице.

  1. a=1−0.35.
  2. Получаем 0.65.

Ответ: 0.65

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Закон распределения».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Математическое ожидание должно находиться между минимальным и максимальным возможными значениями.
Попробуйте самостоятельно

X — число решек при двух независимых бросках честной монеты. Найдите вероятность среднего по величине значения X.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Возможные значения 0, 1 и 2; нужен X=1.

  1. Одна решка бывает в двух из четырёх последовательностей.
  2. P=2/4=1/2.

Ответ: 1/2

Полная статья и три уровня задач

5

Вероятность и статистика · конспект

Математическое ожидание

Теоретическое среднее случайной величины, линейность и отличие от гарантированного результата.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

E[X]=∑ixipiE[X]=\sum_i x_ip_i

Для конечного закона; в счётном случае конечное ожидание гарантирует сумма |xᵢ|pᵢ < ∞.

E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+cE[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c

Линейность для величин с конечными ожиданиями; независимость не нужна.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

X принимает 0 и 6 с вероятностями 0.5 и 0.5. Найдите E[X].

Простой уровень

Подсказка: Взвесьте значения их вероятностями.

  1. E[X]=0·0.5+6·0.5.
  2. Ожидание равно 3.

Ответ: 3

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Математическое ожидание».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

E[X]=4. Найдите E[3X−5].

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Примените линейность ожидания.

  1. E[3X−5]=3E[X]−5.
  2. 3·4−5=7.

Ответ: 7

Полная статья и три уровня задач

6

Вероятность и статистика · конспект

Дисперсия

Теоретический разброс вокруг ожидания, удобная вычислительная формула и свойства.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

Var⁡(X)=E[(X−E[X])2]=E[X2]−(E[X])2\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2

Для величины с конечным вторым моментом.

Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

Сдвиг не меняет разброс, масштабирование действует квадратом.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

X принимает 1 и 3 с равными вероятностями. Найдите дисперсию.

Простой уровень

Подсказка: Сначала найдите ожидание 2.

  1. Отклонения −1 и 1, квадраты равны 1.
  2. Средний квадрат равен 1.

Ответ: 1

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Дисперсия случайной величины».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

X — индикатор с P(X=1)=0.4. Найдите Var(X).

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Для индикатора дисперсия p(1−p).

  1. p=0.4, 1−p=0.6.
  2. Var(X)=0.4·0.6=0.24.

Ответ: 0.24

Полная статья и три уровня задач

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · МаршрутВероятность и статистика · 9 классШаг 2 · УрокПерестановкиШаг 3 · УрокСочетанияШаг 4 · УрокСхема БернуллиШаг 5 · УрокЗакон распределенияШаг 6 · УрокМатематическое ожиданиеШаг 7 · УрокДисперсия

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.