Треугольники, векторы и координаты
Функции и прогрессии, координатно-векторная геометрия и случайные величины.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «теоремы синусов и косинусов», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «векторы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «уравнения прямой и окружности», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Геометрия · подробный конспект
Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°
Вычислительная геометрия связывает стороны, углы и площади треугольника с помощью теорем и тригонометрии.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катеты образуют этот угол.
Теорема Пифагора связывает квадраты сторон прямоугольного треугольника.
На единичной полуокружности cos α — абсцисса, sin α — ордината точки, поэтому sin α ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 180°, а cos α меняет знак после 90°. Тангенс определён, когда cos α ≠ 0.
Значения тупых углов сводят к острому углу: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Знак результата проверяют по четверти до вычислений.
Почему это работает. Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.
Теорема Пифагора для катетов a, b и гипотенузы c.- a, b, c
- стороны напротив углов A, B, C
- h
- высота
- p
- полупериметр
- S
- площадь треугольника
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить известные стороны и углы
- выбрать теорему или тригонометрическое отношение
- решить уравнение и проверить неравенство треугольника
Разбор по шагам
Два примера
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
- c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- Длина положительна, поэтому c = 10.
Ответ: 10
Найдите гипотенузу при катетах 5 и 12.
- По Пифагору c² = 5² + 12².
- c² = 25 + 144 = 169.
- Берём положительный корень: c = 13.
Ответ: 13
Типичные ошибки
- принимать любой треугольник за прямоугольный
- путать гипотенузу с катетом
- терять квадратный корень
Геометрия · подробный конспект
Теоремы синусов и косинусов
Вычислительная геометрия связывает стороны, углы и площади треугольника с помощью теорем и тригонометрии.
В треугольнике стороны a, b, c обозначают напротив углов A, B, C. Теорема синусов связывает каждую сторону с синусом противолежащего угла, а теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник.
Теорему синусов применяют при известной паре «сторона — противолежащий угол», а теорему косинусов — по трём сторонам или по двум сторонам и углу между ними; найденные данные проверяют по сумме углов и порядку сторон.
Если стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C, то a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Теорема косинусов даёт c² = a² + b² − 2ab cos C.
Теорему косинусов выбирают для трёх сторон или двух сторон и угла между ними; теорему синусов — когда известна пара «сторона — противолежащий угол». Ответ проверяют по сумме углов и порядку сторон.
Почему это работает. Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Отношения сторон к синусам противолежащих углов равны диаметру описанной окружности. Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Теоремы синусов и косинусов для сторон, противолежащих углам A, B и C.- a, b, c
- стороны напротив углов A, B, C
- h
- высота
- p
- полупериметр
- S
- площадь треугольника
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- сопоставить каждой стороне противолежащий угол и отметить известные данные
- выбрать теорему синусов для полной пары или теорему косинусов для угла между сторонами
- решить уравнение и проверить сумму углов и соответствие большей стороны большему углу
Разбор по шагам
Два примера
Даны стороны a = 5, b = 7 и угол C = 60° между ними. Найдите c.
- По теореме косинусов c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°.
- c² = 25 + 49 − 35 = 39, поэтому c = √39.
Ответ: √39
В треугольнике a = 6, A = 30°, B = 45°. Найдите b.
- По теореме синусов b/sin 45° = 6/sin 30°.
- b = 6 · (√2/2)/(1/2) = 6√2.
Ответ: 6√2
Типичные ошибки
- сопоставлять сторону не с противолежащим ей углом
- подставлять в теорему косинусов угол, не лежащий между выбранными сторонами
- считать теоремы применимыми только к прямоугольным треугольникам
Геометрия · подробный конспект
Подобие и гомотетия
Подобие сохраняет форму фигуры и изменяет все линейные размеры в одно и то же число раз.
Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
Если коэффициент подобия равен k, длины меняются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы подобных тел — в k³ раз.
Гомотетия с центром O и коэффициентом k переводит A в A′ так, что векторы OA′ = k·OA. Она создаёт подобные фигуры с коэффициентом |k| и сохраняет углы.
При k > 0 точки A и A′ лежат на одном луче из O, при k < 0 — на противоположных. Длины умножаются на |k|, площади — на k².
Почему это работает. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
У подобных треугольников отношения всех соответствующих сторон одинаковы и равны коэффициенту подобия k.
Пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников.- △ABC ∼ △A₁B₁C₁
- треугольники подобны
- k
- коэффициент подобия длин
- k²
- отношение площадей
- гомотетия
- преобразование с единым центром и коэффициентом k
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- установить признаки подобия
- правильно сопоставить вершины
- составить пропорцию соответствующих сторон
Разбор по шагам
Два примера
Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?
- Коэффициент подобия k = 3.
- Площади относятся как k² = 9.
Ответ: В 9 раз
Стороны подобных треугольников относятся как 2 : 5. Площадь меньшего равна 12. Найдите площадь большего.
- Коэффициент подобия большего к меньшему равен 5/2.
- Площади относятся как (5/2)² = 25/4.
- 12 · 25/4 = 75.
Ответ: 75
Типичные ошибки
- сравнивать несоответствующие стороны
- считать площади пропорциональными k
- делать вывод о подобии только по одной паре сторон
Геометрия · подробный конспект
Векторы и координаты на плоскости
Векторы и координаты переводят геометрические отношения на язык вычислений и помогают решать задачи единым методом.
Вектор характеризуется направлением и длиной. В координатах действия с векторами выполняются по соответствующим компонентам.
Скалярное произведение связывает координаты с углом: оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Вектор AB имеет координаты (xB − xA; yB − yA), а его длина равна √(x² + y²). Сложение и умножение на число выполняют по координатам.
Координатный метод переводит геометрическое условие в равенства: равные векторы имеют одинаковые координаты, перпендикулярные ненулевые векторы — нулевое скалярное произведение.
Почему это работает. Вектор хранит направление и длину перемещения. Скалярное произведение сравнивает направления: оно положительно для острого угла, равно нулю для перпендикулярных векторов и отрицательно для тупого.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Скалярное произведение векторов равно произведению их длин и косинуса угла между ними.
Геометрический смысл скалярного произведения.- a⃗ = (x; y)
- вектор с координатами x и y
- |a⃗|
- длина вектора
- a⃗ · b⃗
- скалярное произведение
- cos φ
- косинус угла между векторами
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- выбрать начало координат и базис
- записать координаты точек и векторов
- применить нужную формулу и истолковать результат
Разбор по шагам
Два примера
Найдите скалярное произведение векторов (2; 1) и (3; −4).
- Перемножим соответствующие координаты.
- 2 · 3 + 1 · (−4) = 6 − 4.
Ответ: 2
Перпендикулярны ли векторы a⃗ = (2; 1) и b⃗ = (1; −2)?
- Вычисляем скалярное произведение: 2 · 1 + 1 · (−2).
- Получаем 0.
- Нулевое произведение ненулевых векторов означает перпендикулярность.
Ответ: Да
Типичные ошибки
- складывать координаты вместо попарного умножения
- путать координаты точки и вектора
- забывать о направлении
Геометрия · подробный конспект
Уравнения прямой и окружности
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет с окружностью одну общую точку.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Прямая задаётся уравнением Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно. Окружность с центром (a; b) и радиусом R задаётся уравнением (x − a)² + (y − b)² = R².
При составлении уравнения подставляют известную точку и направление либо центр и радиус. Общие точки прямой и окружности находят решением системы; число решений показывает взаимное расположение.
Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Длина окружности равна двум радиусам, умноженным на число пи; площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса.
Длина окружности и площадь круга.- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- отметить центр, радиусы и точки касания
- найти подходящий угол или треугольник
- применить теорему и проверить единицы
Разбор по шагам
Два примера
Найдите длину окружности радиуса 3.
- Используем формулу L = 2πR.
- Подставляем R = 3.
Ответ: 6π
Радиус круга равен 6. Найдите длину окружности и площадь.
- L = 2π · 6 = 12π.
- S = π · 6² = 36π.
Ответ: L = 12π, S = 36π
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Геометрия · подробный конспект
Правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет с окружностью одну общую точку.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
У правильного n-угольника все стороны и углы равны, центральный угол равен 360°/n. Его можно разбить радиусами на n равных равнобедренных треугольников.
Длину окружности C = 2πR и площадь круга S = πR² используют вместе с вписанными и описанными правильными многоугольниками; апофема служит высотой каждого центрального треугольника.
Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Длина окружности равна двум радиусам, умноженным на число пи; площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса.
Длина окружности и площадь круга.- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- отметить центр, радиусы и точки касания
- найти подходящий угол или треугольник
- применить теорему и проверить единицы
Разбор по шагам
Два примера
Найдите длину окружности радиуса 3.
- Используем формулу L = 2πR.
- Подставляем R = 3.
Ответ: 6π
Радиус круга равен 6. Найдите длину окружности и площадь.
- L = 2π · 6 = 12π.
- S = π · 6² = 36π.
Ответ: L = 12π, S = 36π
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Геометрия · подробный конспект
Параллельный перенос и поворот
Геометрические преобразования описывают, как фигура меняет положение, размер или ориентацию.
Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.
Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор к координатам каждой точки.
Параллельный перенос прибавляет к каждой точке один вектор, а поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на заданный угол. Оба преобразования являются движениями.
Для построения достаточно перенести характерные точки, сохраняя один вектор, либо провести из центра лучи с равными углами и отложить прежние расстояния.
Почему это работает. Движение сохраняет расстояния, а значит — углы, площади и форму фигуры. Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор ко всем точкам; поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на один угол.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При переносе на вектор с координатами a и b к x каждой точки прибавляют a, а к y прибавляют b.
Параллельный перенос на вектор (a; b).- A → A′
- образ точки A
- v⃗
- вектор переноса
- O
- центр поворота или симметрии
- φ
- угол поворота
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить вид преобразования
- найти образ характерных точек
- проверить сохраняемые свойства
Разбор по шагам
Два примера
Перенесите точку (1; 2) на вектор (3; −1).
- Прибавим соответствующие координаты.
- (1 + 3; 2 − 1).
Ответ: (4; 1)
Перенесите B(−1; 2) на вектор v⃗ = (4; −3).
- Складываем соответствующие координаты.
- x′ = −1 + 4 = 3.
- y′ = 2 − 3 = −1.
Ответ: B′(3; −1)
Типичные ошибки
- менять только одну точку фигуры
- путать поворот и гомотетию
- считать, что гомотетия всегда сохраняет длины
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.