УмбликМатематика
К программе 9 класса
Геометрия9 класс 15–20 минут3 задания

Подобие и гомотетия

Подобие сохраняет форму фигуры и изменяет все линейные размеры в одно и то же число раз.

Главная идея

Что нужно понять

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.

Если коэффициент подобия равен k, длины меняются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы подобных тел — в k³ раз.

Гомотетия с центром O и коэффициентом k переводит A в A′ так, что векторы OA′ = k·OA. Она создаёт подобные фигуры с коэффициентом |k| и сохраняет углы.

При k > 0 точки A и A′ лежат на одном луче из O, при k < 0 — на противоположных. Длины умножаются на |k|, площади — на k².

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.

Опорная формула

a1a2=b1b2=c1c2=k\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k
Формула словами

У подобных треугольников отношения всех соответствующих сторон одинаковы и равны коэффициенту подобия k.

Пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC ∼ △A₁B₁C₁
треугольники подобны
k
коэффициент подобия длин
k²
отношение площадей
гомотетия
преобразование с единым центром и коэффициентом k

Алгоритм

Как решать задачи

  1. установить признаки подобия
  2. правильно сопоставить вершины
  3. составить пропорцию соответствующих сторон

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?

  1. Коэффициент подобия k = 3.
  2. Площади относятся как k² = 9.

Ответ: В 9 раз

Пример 2

Стороны подобных треугольников относятся как 2 : 5. Площадь меньшего равна 12. Найдите площадь большего.

  1. Коэффициент подобия большего к меньшему равен 5/2.
  2. Площади относятся как (5/2)² = 25/4.
  3. 12 · 25/4 = 75.

Ответ: 75

Самопроверка

Типичные ошибки

  • сравнивать несоответствующие стороны
  • считать площади пропорциональными k
  • делать вывод о подобии только по одной паре сторон

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Как относятся площади подобных фигур при коэффициенте k?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Подобие и гомотетия»?
  3. Задание 3
    Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?