Подобие и гомотетия · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПодобие и гомотетия

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.

Если коэффициент подобия равен k, длины меняются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы подобных тел — в k³ раз.

Гомотетия с центром O и коэффициентом k переводит A в A′ так, что векторы OA′ = k·OA. Она создаёт подобные фигуры с коэффициентом |k| и сохраняет углы.

При k > 0 точки A и A′ лежат на одном луче из O, при k < 0 — на противоположных. Длины умножаются на |k|, площади — на k².

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.

Схема к теме

Алгоритм: Подобие и гомотетия

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.

1. Установить — признаки подобия
2. Правильно — сопоставить вершины
3. Составить — пропорцию соответствующих сторон

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Если коэффициент подобия равен k, длины меняются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы подобных тел — в k³ раз.

Опорная формула

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k

Формула словами

У подобных треугольников отношения всех соответствующих сторон одинаковы и равны коэффициенту подобия k.

Пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: треугольники подобны
k: коэффициент подобия длин
k²: отношение площадей
гомотетия: преобразование с единым центром и коэффициентом k

Алгоритм

Как решать задачи

установить признаки подобия
правильно сопоставить вершины
составить пропорцию соответствующих сторон

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?

Коэффициент подобия k = 3.
Площади относятся как k² = 9.

Ответ: В 9 раз

Пример 2

Стороны подобных треугольников относятся как 2 : 5. Площадь меньшего равна 12. Найдите площадь большего.

Коэффициент подобия большего к меньшему равен 5/2.
Площади относятся как (5/2)² = 25/4.
12 · 25/4 = 75.

Ответ: 75

Самопроверка

Типичные ошибки

сравнивать несоответствующие стороны
считать площади пропорциональными k
делать вывод о подобии только по одной паре сторон

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Подобие и гомотетия» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: сравнивать несоответствующие стороны

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
Вы расшифровали математическую запись словами: У подобных треугольников отношения всех соответствующих сторон одинаковы и равны коэффициенту подобия k.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…