Теоремы синусов и косинусов · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

В треугольнике стороны a, b, c обозначают напротив углов A, B, C. Теорема синусов связывает каждую сторону с синусом противолежащего угла, а теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник.

Теорему синусов применяют при известной паре «сторона — противолежащий угол», а теорему косинусов — по трём сторонам или по двум сторонам и углу между ними; найденные данные проверяют по сумме углов и порядку сторон.

Если стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C, то a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Теорема косинусов даёт c² = a² + b² − 2ab cos C.

Теорему косинусов выбирают для трёх сторон или двух сторон и угла между ними; теорему синусов — когда известна пара «сторона — противолежащий угол». Ответ проверяют по сумме углов и порядку сторон.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.

Опорная формула

\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,\qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Формула словами

Отношения сторон к синусам противолежащих углов равны диаметру описанной окружности. Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теоремы синусов и косинусов для сторон, противолежащих углам A, B и C.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c: стороны напротив углов A, B, C
h: высота
p: полупериметр
S: площадь треугольника

Алгоритм

Как решать задачи

сопоставить каждой стороне противолежащий угол и отметить известные данные
выбрать теорему синусов для полной пары или теорему косинусов для угла между сторонами
решить уравнение и проверить сумму углов и соответствие большей стороны большему углу

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Даны стороны a = 5, b = 7 и угол C = 60° между ними. Найдите c.

По теореме косинусов c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°.
c² = 25 + 49 − 35 = 39, поэтому c = √39.

Ответ: √39

Пример 2

В треугольнике a = 6, A = 30°, B = 45°. Найдите b.

По теореме синусов b/sin 45° = 6/sin 30°.
b = 6 · (√2/2)/(1/2) = 6√2.

Ответ: 6√2

Самопроверка

Типичные ошибки

сопоставлять сторону не с противолежащим ей углом
подставлять в теорему косинусов угол, не лежащий между выбранными сторонами
считать теоремы применимыми только к прямоугольным треугольникам