Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180° · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюСинус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Точке единичной полуокружности, соответствующей углу α, приписаны координаты (cos α, sin α). Тангенс равен sin α/cos α и определён только при cos α ≠ 0.

При 0° ≤ α ≤ 180° синус неотрицателен. Косинус положителен для острых углов, равен нулю при 90° и отрицателен для тупых углов. Для острого β: sin(180° − β) = sin β, cos(180° − β) = −cos β, tg(180° − β) = −tg β. Всегда sin²α + cos²α = 1.

На единичной полуокружности cos α — абсцисса, sin α — ордината точки, поэтому sin α ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 180°, а cos α меняет знак после 90°. Тангенс определён, когда cos α ≠ 0.

Значения тупых углов сводят к острому углу: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Знак результата проверяют по четверти до вычислений.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

На верхней единичной полуокружности ордината неотрицательна. Зеркальные точки относительно вертикального диаметра имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы: отсюда формулы для дополнительных до 180° углов. При 90° абсцисса равна нулю, поэтому деление для тангенса невозможно. Острые углы и Пифагор остаются предпосылкой: катеты 6 и 8 дают гипотенузу 10, а 5 и 12 — гипотенузу 13; теперь учитываем ещё положение точки и знак функции.

Схема к теме

Алгоритм: Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

1. Определить, — является угол острым, прямым или тупым, и установить знак нужной функции
2. Свести тупой — угол к острому либо использовать основное тригонометрическое тождество
3. Выбрать корень — с нужным знаком и проверить, определён ли тангенс

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: При 0° ≤ α ≤ 180° синус неотрицателен. Косинус положителен для острых углов, равен нулю при 90° и отрицателен для тупых углов. Для острого β: sin(180° − β) = sin β, cos(180° − β) = −cos β, tg(180° − β) = −tg β. Всегда sin²α + cos²α = 1.

Опорная формула

\sin(180^\circ-\beta)=\sin\beta,\quad \cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta;\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Формула словами

Синус дополнительного до ста восьмидесяти градусов угла сохраняется, косинус меняет знак. Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице.

Переход от тупого угла к острому и основное тригонометрическое тождество.

Расшифровка

Обозначения и термины

(cos α, sin α): координаты точки единичной полуокружности
180° − β: тупой угол, дополнительный до 180° к острому β
tg α: отношение sin α/cos α при cos α ≠ 0

Алгоритм

Как решать задачи

определить, является угол острым, прямым или тупым, и установить знак нужной функции
свести тупой угол к острому либо использовать основное тригонометрическое тождество
выбрать корень с нужным знаком и проверить, определён ли тангенс

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите cos 120°.

120° = 180° − 60°, угол тупой и его косинус отрицателен.
cos 120° = −cos 60° = −1/2.

Ответ: −1/2

Пример 2

Угол α тупой, sin α = 3/5. Найдите cos α и tg α.

cos²α = 1 − 9/25 = 16/25.
Для тупого угла косинус отрицателен: cos α = −4/5.
tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

Ответ: cos α = −4/5; tg α = −3/4

Самопроверка

Типичные ошибки

выбирать положительный корень для косинуса тупого угла
менять знак синуса при переходе к дополнительному до 180° углу
считать тангенс 90° определённым

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: выбирать положительный корень для косинуса тупого угла

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Точке единичной полуокружности, соответствующей углу α, приписаны координаты (cos α, sin α). Тангенс равен sin α/cos α и определён только при cos α ≠ 0.
Вы расшифровали математическую запись словами: Синус дополнительного до ста восьмидесяти градусов угла сохраняется, косинус меняет знак. Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…