Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180° · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катеты образуют этот угол.

Теорема Пифагора связывает квадраты сторон прямоугольного треугольника.

На единичной полуокружности cos α — абсцисса, sin α — ордината точки, поэтому sin α ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 180°, а cos α меняет знак после 90°. Тангенс определён, когда cos α ≠ 0.

Значения тупых углов сводят к острому углу: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Знак результата проверяют по четверти до вычислений.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.

Опорная формула

a^2+b^2=c^2

Формула словами

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора для катетов a, b и гипотенузы c.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c: стороны напротив углов A, B, C
h: высота
p: полупериметр
S: площадь треугольника

Алгоритм

Как решать задачи

определить известные стороны и углы
выбрать теорему или тригонометрическое отношение
решить уравнение и проверить неравенство треугольника

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Длина положительна, поэтому c = 10.

Ответ: 10

Пример 2

Найдите гипотенузу при катетах 5 и 12.

По Пифагору c² = 5² + 12².
c² = 25 + 144 = 169.
Берём положительный корень: c = 13.

Ответ: 13

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать любой треугольник за прямоугольный
путать гипотенузу с катетом
терять квадратный корень