Функции и последовательности
Функции и прогрессии, координатно-векторная геометрия и случайные величины.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «графики функций», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «арифметическая и геометрическая прогрессии», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «сложные проценты», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Квадратичная функция и парабола
Квадратные зависимости возникают, когда переменная входит во второй степени; их график — парабола.
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Число корней определяет дискриминант.
После вычисления дискриминанта используют формулу корней; найденные значения полезно проверить подстановкой.
График y = ax² + bx + c — парабола; знак a задаёт направление ветвей. Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a), а ординату получают подстановкой x₀ в функцию.
Нули функции являются корнями ax² + bx + c = 0, а ось симметрии проходит через вершину. По графику читают промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания.
Почему это работает. Полный квадрат ax² + bx + c можно преобразовать так, чтобы отдельно увидеть квадрат выражения и постоянную часть. Дискриминант возникает при этом преобразовании и показывает, пересекает ли парабола ось Ox в двух, одной или ни одной точке.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Сначала из квадрата b вычитают четыре произведения a и c — это дискриминант. Корни получают, разделив минус b плюс или минус корень из дискриминанта на два a.
Дискриминант и формула корней квадратного уравнения.- a, b, c
- коэффициенты квадратного уравнения, a ≠ 0
- D
- дискриминант b² − 4ac
- x₁, x₂
- корни уравнения
- (x₀; y₀)
- координаты вершины параболы
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- привести уравнение к стандартному виду
- найти дискриминант
- вычислить и проверить корни
Разбор по шагам
Два примера
Решите x² − 5x + 6 = 0.
- D = 25 − 24 = 1.
- x = (5 ± 1)/2.
Ответ: 2 и 3
Решите 2x² + x − 3 = 0.
- D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.
- x = (−1 ± 5)/4.
- Получаем x₁ = 1, x₂ = −3/2.
Ответ: 1; −3/2
Типичные ошибки
- терять знак коэффициента b
- делить только часть числителя на 2a
- забывать условие a ≠ 0
Алгебра · подробный конспект
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Последовательность описывает упорядоченный набор чисел, а прогрессии задают важные модели линейного и экспоненциального изменения.
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.
Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.
В арифметической прогрессии постоянна разность d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. В геометрической постоянен знаменатель q, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Суммы первых n членов имеют разные формулы: арифметическая использует среднее крайних членов, геометрическая — степень q. Сначала нужно доказать вид последовательности.
Почему это работает. Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.- aₙ
- член последовательности с номером n
- d
- разность арифметической прогрессии
- q
- знаменатель геометрической прогрессии
- Sₙ
- сумма первых n членов
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить вид последовательности
- найти первый член и разность или знаменатель
- подставить номер в формулу
Разбор по шагам
Два примера
Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
- a₁₀ = 3 + 9 · 4.
Ответ: 39
Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с d = 3.
- a₈ = a₁ + 7d.
- a₈ = 5 + 7 · 3.
Ответ: 26
Типичные ошибки
- использовать n вместо n − 1
- путать разность со знаменателем
- округлять денежные значения слишком рано
Алгебра · подробный конспект
Проценты, вклады и сложный процент
Сложный процент описывает повторяющееся изменение, при котором каждый новый процент начисляется уже на изменившуюся сумму.
При сложном проценте сумма после каждого периода умножается на постоянный коэффициент роста или снижения, поэтому последовательность сумм является геометрической прогрессией.
При росте на p% за период используйте коэффициент 1 + p/100, при снижении — 1 − p/100; за n периодов коэффициент возводится в степень n.
При сложном проценте начисление каждого периода добавляется к капиталу и само участвует в следующем начислении. Поэтому рост описывает геометрическая, а не арифметическая прогрессия.
Коэффициент одного периода равен 1 + p/100 при росте и 1 − p/100 при снижении. За n одинаковых периодов начальную сумму умножают на этот коэффициент в степени n.
Почему это работает. После первого начисления база следующего периода уже включает полученный процент. Поэтому одинаковая процентная ставка даёт разные абсолютные прибавки, но одно и то же отношение соседних сумм.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Конечная сумма равна начальной сумме, умноженной на коэффициент одного периода в степени, равной числу начислений.
Формула сложного процентного роста при неизменной ставке p% за период.- S₀
- начальная сумма
- p
- ставка за один период в процентах
- n
- число одинаковых периодов
- Sₙ
- сумма после n начислений
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- установить начальную сумму, ставку одного периода и число начислений
- перевести процент в коэффициент роста или снижения
- возвести коэффициент в степень числа периодов
- умножить на начальную сумму и округлить только итог по условию
Разбор по шагам
Два примера
Вклад 100 000 ₽ открыт под 10% годовых с ежегодной капитализацией на 2 года. Найдите сумму.
- Коэффициент одного года: 1 + 10/100 = 1,1.
- За два года коэффициент равен 1,1² = 1,21.
- 100 000 · 1,21 = 121 000.
Ответ: 121 000 ₽
Стоимость 800 000 ₽ снижается на 15% в год. Найдите стоимость через 2 года.
- Коэффициент снижения: 1 − 15/100 = 0,85.
- За два года: 0,85² = 0,7225.
- 800 000 · 0,7225 = 578 000.
Ответ: 578 000 ₽
Типичные ошибки
- умножать ставку на число периодов вместо возведения коэффициента в степень
- начислять каждый процент только на первоначальную сумму
- округлять промежуточные значения и накапливать ошибку
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.