Уравнения и неравенства
Функции и прогрессии, координатно-векторная геометрия и случайные величины.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «квадратные и рациональные модели», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «системы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «квадратные неравенства», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Уравнения высших степеней и дробно-рациональные уравнения
Уравнения высших степеней и дробно-рациональные уравнения решают сведением к знакомым моделям, не забывая об ограничениях исходной записи.
Дробно-рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе, а уравнение высшей степени — многочлен степени выше второй; решением является допустимое значение, обращающее исходное уравнение в верное равенство.
Сначала записывают ОДЗ, затем устраняют знаменатели или вводят замену переменной; после решения преобразованного уравнения каждый кандидат проверяют в исходной записи.
Уравнение высшей степени часто сводят к квадратному заменой переменной или разложением многочлена на множители. После обратной замены проверяют все полученные значения.
В дробно-рациональном уравнении сначала записывают ОДЗ, затем умножают на общий знаменатель. Корни преобразованного уравнения, обращающие исходный знаменатель в ноль, отбрасывают.
Почему это работает. Умножение на общий знаменатель равносильно только там, где этот знаменатель не равен нулю. Замена t = x² сжимает повторяющуюся структуру уравнения, но после нахождения t требует обратного решения x² = t и отбора действительных значений.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Чтобы рациональная дробь была равна нулю, числитель должен обратиться в ноль, а знаменатель при этом обязан остаться ненулевым.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.- ОДЗ
- множество значений, допустимых в исходном уравнении
- P(x)
- многочлен в числителе
- Q(x) ≠ 0
- ограничение на знаменатель
- t = x²
- типичная замена для биквадратного уравнения
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- записать ОДЗ и запрещённые значения
- выбрать разложение на множители, общий знаменатель или замену переменной
- решить полученное уравнение более низкой степени
- вернуться к исходной переменной и проверить каждого кандидата по ОДЗ
Разбор по шагам
Два примера
Решите (x² − 9)/(x − 3) = 0.
- ОДЗ: x ≠ 3.
- Для нуля дроби решаем x² − 9 = 0: x = −3 или x = 3.
- Значение 3 запрещено знаменателем, остаётся x = −3.
Ответ: x = −3
Решите x⁴ − 5x² + 4 = 0.
- Вводим t = x², причём t ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0.
- Получаем t = 1 или t = 4.
- Из x² = 1 и x² = 4 получаем x = ±1, ±2.
Ответ: −2; −1; 1; 2
Типичные ошибки
- сокращать множитель до записи ОДЗ
- принимать запрещённое значение знаменателя за корень
- после замены t = x² забывать вернуться к переменной x
Алгебра · подробный конспект
Системы уравнений
Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.
Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению одновременно. Помимо подстановки и сложения используют графический метод: решения соответствуют точкам пересечения графиков.
Нелинейная система может иметь несколько пар решений, поэтому нельзя останавливаться после первой. Каждую пару проверяют в обоих исходных уравнениях и учитывают ограничения.
Почему это работает. Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
Корень линейного уравнения при a ≠ 0.- x
- неизвестная величина
- a
- коэффициент при неизвестной
- b
- свободный член
- x = −b/a
- решение при a ≠ 0
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- раскрыть скобки и привести подобные
- перенести неизвестные в одну часть
- разделить на коэффициент при переменной
Разбор по шагам
Два примера
Решите 3x − 7 = 11.
- Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
- Разделим обе части на 3.
Ответ: 6
Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.
- Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
- Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
- 5x = 15, значит x = 3.
Ответ: 3
Типичные ошибки
- переносить слагаемое без смены знака
- делить только одно слагаемое
- не проверять особый случай нулевого коэффициента
Алгебра · подробный конспект
Квадратные и рациональные неравенства
Квадратные и рациональные неравенства решают по знаку выражения на промежутках, разделённых нулями числителя и запрещёнными точками знаменателя.
Решение неравенства — множество допустимых x, при которых квадратный многочлен или рациональное выражение имеет требуемый знак.
Перенесите всё в одну часть, разложите выражение на множители, отметьте критические точки и определите знак на каждом промежутке; нули знаменателя исключаются при любом знаке.
Метод интервалов начинается с переноса в одну часть, разложения числителя и знаменателя на множители и отметки нулей и запрещённых точек на прямой.
Знак выражения постоянен внутри каждого промежутка между критическими точками. Нули числителя включают только при нестрогом знаке, а нули знаменателя не включают никогда.
Почему это работает. Непрерывный множитель не меняет знак, пока не пройдёт через свой ноль. Поэтому произведение или частное сохраняет знак внутри промежутка между соседними критическими точками, и достаточно проверить одну точку каждого промежутка.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Критические точки получают из нулей числителя и знаменателя, после чего на каждом получившемся промежутке определяют знак всего выражения.
Нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на интервалы постоянного знака.- P(x)
- многочлен в числителе или левой части
- Q(x) ≠ 0
- запрещённые точки рационального выражения
- (a; b)
- промежуток без включённых границ
- [a; b]
- промежуток с включёнными допустимыми границами
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- перенести выражения в одну часть и записать ОДЗ
- разложить числитель и знаменатель на множители
- нанести все критические точки на числовую прямую
- определить знаки и выбрать интервалы с учётом строгости границ
Разбор по шагам
Два примера
Решите (x − 2)(x + 3) ≤ 0.
- Нули множителей: x = −3 и x = 2.
- Произведение положительно снаружи и отрицательно между корнями.
- Знак нестрогий, поэтому оба нуля включаем.
Ответ: [−3; 2]
Решите (x − 1)/(x + 2) > 0.
- Критические точки: x = 1 — нуль числителя, x = −2 — нуль знаменателя.
- Знаки на интервалах: плюс на (−∞; −2), минус на (−2; 1), плюс на (1; +∞).
- Неравенство строгое, обе точки исключены.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
Типичные ошибки
- включать в ответ нуль знаменателя
- определять знак только по числителю
- не учитывать строгий или нестрогий знак в граничных точках
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.