УмбликМатематика
К маршруту 8 класса
Математика8 классБазовый курс 5 подробных конспектовНагрузка предмета в 8 классе: 204 ч, 6 ч/нед.: алгебра 102, геометрия 68, вероятность и статистика 3410 заданий и разборов

Множества и вероятность

Действительные числа, квадратные уравнения, подобие и условная вероятность.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «операции над множествами», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «дерево вариантов», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «условная вероятность и независимость», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Вероятность и статистика · конспект

Множества

Различаем элемент и подмножество, описываем событие набором подходящих исходов.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

a∈A,B⊆Aa\in A,\qquad B\subseteq A

a является элементом A; каждый элемент множества B также входит в A.

A⊆Ω,∅⊆AA\subseteq\Omega,\qquad\varnothing\subseteq A

Событие конечного эксперимента — подмножество пространства исходов; пустое множество является подмножеством любого множества.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Сколько элементов содержит множество {1, 1, 4, 7, 7}?

Простой уровень

Подсказка: В множестве повторы при перечислении не создают новых элементов.

  1. Различные элементы множества: 1, 4 и 7.
  2. Число элементов равно 3. В списке наблюдений было бы пять записей, но здесь спрашивается множество.

Ответ: 3

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Множества и события».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

Пространство исходов — целые числа от 1 до 12. Событие A означает «число делится на 3». Сколько исходов входит в A?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Перечислите кратные трём в указанном диапазоне, включая границы.

  1. Подходящие числа: 3, 6, 9, 12.
  2. Событие A содержит 4 исхода. Его размер можно найти, даже не задавая вероятности исходов.

Ответ: 4

Полная статья и три уровня задач

2

Вероятность и статистика · конспект

Круги Эйлера — Венна

Связываем области рисунка с событиями и проверяем четыре части для двух множеств.

Простыми словами

Событие — это набор исходов, удовлетворяющих условию. Слова «и», «или» и «не» переводятся в пересечение, объединение и дополнение событий.

Опорные записи

Формулы и условия применения

Ω=(A∖B) ∪˙ (A∩B) ∪˙ (B∖A) ∪˙ A∪B‾\Omega=(A\setminus B)\,\dot\cup\,(A\cap B)\,\dot\cup\,(B\setminus A)\,\dot\cup\,\overline{A\cup B}

Четыре области попарно не пересекаются; точка над объединением подчёркивает это.

P(ни A, ни B)=1−P(A)−P(B)+P(A∩B)P(\text{ни }A\text{, ни }B)=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)

Вероятность внешней области находится из остатка полного пространства.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Перечислите несколько исходов вручную и проверьте, что формула учитывает каждый нужный исход ровно один раз.

Разобранный пример

В четырёх областях «только A, оба, только B, ни одного» стоят 5,3,2,10. Сколько исходов всего?

Простой уровень

Подсказка: Области не пересекаются.

  1. Складываем 5+3+2+10.
  2. Всего 20.

Ответ: 20

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Диаграммы Эйлера–Венна».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Перечислите несколько исходов вручную и проверьте, что формула учитывает каждый нужный исход ровно один раз.
Попробуйте самостоятельно

Области «только A, оба, только B, ни одного» содержат 5, 3, 2, 10 исходов. Найдите вероятность A при равномерном выборе из всех 20.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

A состоит из своей отдельной и общей части.

  1. В A находится 5+3=8 исходов.
  2. 8/20=0,4.

Ответ: 0,4

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Дерево вероятностей

Читаем условные ветви, вычисляем полные пути и проверяем сумму конечных вероятностей.

Простыми словами

Правила сложения и умножения вероятностей отвечают на разные вопросы. Сложение обычно связано с выбором одного из вариантов, умножение — с последовательным выполнением нескольких условий.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(путь)=∏j=1rP(ветвь j∣предыдущие шаги)P(\text{путь})=\prod_{j=1}^{r}P(\text{ветвь }j\mid\text{предыдущие шаги})

Вероятность пути — произведение условных вероятностей его ветвей.

P(A)=∑ℓ∈LAP(путь к листу ℓ)P(A)=\sum_{\ell\in L_A}P(\text{путь к листу }\ell)

Суммируются несовместимые полные пути, на которых выполняется A.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Разобранный пример

Ветви полного пути имеют вероятности 0,4 и 0,25. Найдите вероятность пути.

Простой уровень

Подсказка: По пути умножают.

  1. 0,4×0,25.
  2. Получаем 0,1.

Ответ: 0,1

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Дерево случайного эксперимента».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.
Попробуйте самостоятельно

Первый успех вероятен с 0,6. После него шанс второго 0,8, после неудачи 0,3. Найдите вероятность второго успеха.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Сложите два пути к успеху на втором шаге.

  1. Первый путь 0,6×0,8=0,48.
  2. Второй 0,4×0,3=0,12.
  3. Сумма 0,60.

Ответ: 0,6

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Условная вероятность

Пересчитываем вероятность после получения информации и различаем условность и независимость.

Простыми словами

Правила сложения и умножения вероятностей отвечают на разные вопросы. Сложение обычно связано с выбором одного из вариантов, умножение — с последовательным выполнением нескольких условий.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0

Условная вероятность A при известном событии B.

P(A∩B)=P(B)P(A∣B)P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

Вероятность двух событий вместе через вероятность условия и условную вероятность.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Разобранный пример

На честном кубике выпало чётное число. Какова при этом условии вероятность шестёрки?

Простой уровень

Подсказка: После сообщения остаются только три возможных исхода.

  1. Условие оставляет равновозможные исходы 2, 4 и 6.
  2. Из трёх исходов подходит только 6.
  3. Условная вероятность — 1/3.

Ответ: 1/3

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Условная вероятность».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.
Попробуйте самостоятельно

Известно P(B)=0,4 и P(A∩B)=0,1. Найдите P(A|B).

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Разделите вероятность пересечения на вероятность условия B.

  1. P(B) > 0, поэтому применима формула условной вероятности.
  2. P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,4.
  3. Получаем 0,25.

Ответ: 0,25

Полная статья и три уровня задач

5

Вероятность и статистика · конспект

Независимые события

Проверяем, меняет ли знание одного события вероятность другого, и отличаем независимость от несовместимости.

Простыми словами

Событие — это набор исходов, удовлетворяющих условию. Слова «и», «или» и «не» переводятся в пересечение, объединение и дополнение событий.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)

Определение независимости двух событий; подходит и для событий нулевой вероятности.

P(A∣B)=P(A),P(B)>0P(A\mid B)=P(A),\qquad P(B)>0

Равносильная проверка при условии положительной вероятности B.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Перечислите несколько исходов вручную и проверьте, что формула учитывает каждый нужный исход ровно один раз.

Разобранный пример

События A и B независимы, P(A)=0,3, P(B)=0,8. Найдите вероятность их совместного наступления.

Простой уровень

Подсказка: Независимость позволяет перемножить отдельные вероятности.

  1. По определению независимости P(A∩B)=P(A)P(B).
  2. Вычисляем 0,3×0,8=0,24.

Ответ: 0,24

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Независимые события».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Перечислите несколько исходов вручную и проверьте, что формула учитывает каждый нужный исход ровно один раз.
Попробуйте самостоятельно

События A и B независимы. P(A)=0,4 и P(B)=0,25. Найдите P(A|B).

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

При независимости сообщение о B не меняет вероятность A.

  1. P(B)>0, поэтому условная вероятность определена.
  2. P(A∩B)=0,4×0,25=0,1.
  3. P(A|B)=0,1/0,25=0,4, как и P(A).

Ответ: 0,4

Полная статья и три уровня задач

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · МаршрутВероятность и статистика · 8 классШаг 2 · УрокМножестваШаг 3 · УрокКруги Эйлера — ВеннаШаг 4 · УрокДерево вероятностейШаг 5 · УрокУсловная вероятностьШаг 6 · УрокНезависимые события

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.