УмбликМатематика
К маршруту 8 класса
Математика8 классБазовый курс 6 подробных конспектовНагрузка предмета в 8 классе: 204 ч, 6 ч/нед.: алгебра 102, геометрия 68, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Четырёхугольники и подобие

Действительные числа, квадратные уравнения, подобие и условная вероятность.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «теорема Фалеса», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «площади», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «теорема Пифагора и тригонометрия», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Геометрия · подробный конспект

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция

Четырёхугольники классифицируют по параллельности сторон, углам и свойствам диагоналей.

Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон; прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — с равными сторонами, квадрат — одновременно прямоугольник и ромб, трапеция имеет одну пару параллельных оснований.

Опорная идея

Диагонали параллелограмма делятся пополам; у прямоугольника они равны, у ромба перпендикулярны и делят углы пополам, у квадрата выполняются все эти свойства.

Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон; прямоугольник добавляет прямые углы, ромб — равные стороны, квадрат обладает обоими свойствами. У трапеции выделяют одну пару параллельных оснований.

В доказательстве вид четырёхугольника устанавливают по достаточному признаку: например, диагонали параллелограмма делятся пополам, у прямоугольника они ещё и равны, у ромба — перпендикулярны.

Почему это работает. Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

S∥=ah,Sтрап=(a+b)h2S_{\parallel}=ah,\qquad S_{\text{трап}}=\frac{(a+b)h}{2}
Формула словами

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площади параллелограмма и трапеции через основания и высоту.
a, b
длины соседних сторон
hₐ
высота к стороне a
d₁, d₂
диагонали
S = ahₐ
площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. выписать данные о параллельности, равенстве сторон, углах и диагоналях
  2. выбрать достаточный признак наиболее специального вида четырёхугольника
  3. применить свойства только после обоснования вида фигуры

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Диагонали параллелограмма равны. Докажите, что это прямоугольник.

  1. Диагонали параллелограмма делятся пополам.
  2. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Ответ: Это прямоугольник

Пример 1.2

Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 10 и высотой 4.

  1. Полусумма оснований: (6 + 10)/2 = 8.
  2. S = 8 · 4 = 32.

Ответ: 32

Типичные ошибки

  • принимать боковую сторону за высоту
  • переносить свойства квадрата на любую трапецию
  • делить площадь параллелограмма на два

Открыть отдельный урок

2

Геометрия · подробный конспект

Теорема Фалеса и средние линии

Подобие сохраняет форму фигуры и изменяет все линейные размеры в одно и то же число раз.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон; средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Теорема Фалеса описывает пропорциональные отрезки, отсекаемые параллельными прямыми.

Опорная идея

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине, а средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Сначала доказывают параллельность или принадлежность точек серединам, затем записывают пропорцию в одинаковом порядке; у средней линии коэффициент 1/2 относится к соответствующей стороне.

Почему это работает. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

MN=BC2,mтрап=a+b2MN=\frac{BC}{2},\qquad m_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2}
Формула словами

Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны. Средняя линия трапеции равна половине суммы длин двух её оснований.

Длины средних линий треугольника и трапеции.
△ABC ∼ △A₁B₁C₁
треугольники подобны
k
коэффициент подобия длин
k²
отношение площадей
гомотетия
преобразование с единым центром и коэффициентом k

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. проверить, что концы отрезка являются серединами соответствующих сторон
  2. установить параллельность по теореме Фалеса или свойству средней линии
  3. записать отношение соответствующих отрезков в одном порядке

Разбор по шагам

Два примера

Пример 2.1

Средняя линия треугольника параллельна стороне длиной 14 см. Найдите среднюю линию.

  1. Средняя линия равна половине параллельной стороны.
  2. 14 : 2 = 7 см.

Ответ: 7 см

Пример 2.2

Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Найдите среднюю линию.

  1. Средняя линия равна полусумме оснований.
  2. (8 + 12)/2 = 10 см.

Ответ: 10 см

Типичные ошибки

  • сравнивать несоответствующие стороны
  • считать площади пропорциональными k
  • делать вывод о подобии только по одной паре сторон

Открыть отдельный урок

3

Геометрия · подробный конспект

Подобие треугольников

Подобие сохраняет форму фигуры и изменяет все линейные размеры в одно и то же число раз.

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.

Опорная идея

Если коэффициент подобия равен k, длины меняются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы подобных тел — в k³ раз.

Подобие устанавливают по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними либо по трём пропорциональным сторонам. Соответствующие вершины записывают в одном порядке.

После доказательства подобия длины сравнивают с коэффициентом k, периметры — с k, а площади — с k²; смешивать отношения несоответствующих сторон нельзя.

Почему это работает. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

a1a2=b1b2=c1c2=k\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k
Формула словами

У подобных треугольников отношения всех соответствующих сторон одинаковы и равны коэффициенту подобия k.

Пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников.
△ABC ∼ △A₁B₁C₁
треугольники подобны
k
коэффициент подобия длин
k²
отношение площадей
гомотетия
преобразование с единым центром и коэффициентом k

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. установить признаки подобия
  2. правильно сопоставить вершины
  3. составить пропорцию соответствующих сторон

Разбор по шагам

Два примера

Пример 3.1

Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?

  1. Коэффициент подобия k = 3.
  2. Площади относятся как k² = 9.

Ответ: В 9 раз

Пример 3.2

Стороны подобных треугольников относятся как 2 : 5. Площадь меньшего равна 12. Найдите площадь большего.

  1. Коэффициент подобия большего к меньшему равен 5/2.
  2. Площади относятся как (5/2)² = 25/4.
  3. 12 · 25/4 = 75.

Ответ: 75

Типичные ошибки

  • сравнивать несоответствующие стороны
  • считать площади пропорциональными k
  • делать вывод о подобии только по одной паре сторон

Открыть отдельный урок

4

Геометрия · подробный конспект

Площади многоугольников

Геометрические величины позволяют количественно описывать границу, поверхность и пространство, занимаемое фигурой.

Площадь многоугольника — величина его внутренней области; она сохраняется при разбиении и перестановке неперекрывающихся частей и измеряется в квадратных единицах.

Опорная идея

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, параллелограмма — произведению основания на высоту, трапеции — полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площадь многоугольника находят по формуле для его вида или разбиением на неперекрывающиеся части. Для треугольника S = ah/2, для параллелограмма S = ah, для трапеции S = (a + b)h/2.

Высота всегда перпендикулярна выбранному основанию. При разбиении площади складывают, а площадь вырезанной части вычитают; все длины заранее приводят к одной единице.

Почему это работает. Периметр складывает длины границы, а площадь измеряет число единичных квадратов внутри фигуры. Поэтому эти величины имеют разные единицы: линейные для периметра и квадратные для площади.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

S△=ah2,S∥=ah,Sтрап=(a+b)h2S_{\triangle}=\frac{ah}{2},\qquad S_{\parallel}=ah,\qquad S_{\text{трап}}=\frac{(a+b)h}{2}
Формула словами

Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту; площадь трапеции — половине произведения суммы оснований на высоту.

Основные формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции.
P
периметр фигуры
S
площадь фигуры
a, b
длины сторон прямоугольника
см²
квадратная единица площади

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. распознать многоугольник либо разбить его на простые неперекрывающиеся фигуры
  2. выбрать основание и провести перпендикулярную ему высоту
  3. сложить или вычесть площади частей и записать квадратные единицы

Разбор по шагам

Два примера

Пример 4.1

Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см.

  1. Используем S = ah/2.
  2. S = 10 · 6 / 2 = 30 см².

Ответ: 30 см²

Пример 4.2

Найдите площадь трапеции с основаниями 5 см и 9 см и высотой 4 см.

  1. S = (a + b)h/2.
  2. S = (5 + 9) · 4 / 2 = 28 см².

Ответ: 28 см²

Типичные ошибки

  • путать периметр и площадь
  • смешивать сантиметры и метры
  • забывать квадратные или кубические единицы

Открыть отдельный урок

5

Геометрия · подробный конспект

Теорема Пифагора и элементы тригонометрии

Вычислительная геометрия связывает стороны, углы и площади треугольника с помощью теорем и тригонометрии.

В прямоугольном треугольнике катеты образуют прямой угол, гипотенуза лежит напротив него, а синус, косинус и тангенс острого угла задаются отношениями его сторон.

Опорная идея

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношению противолежащего катета к прилежащему.

В прямоугольном треугольнике c² = a² + b², где c — гипотенуза. Для острого угла синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего, тангенс — отношению катетов.

Сначала отмечают прямой угол и называют катеты относительно выбранного угла, затем выбирают теорему Пифагора или нужное отношение и проверяют, что гипотенуза получилась самой длинной стороной.

Почему это работает. Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

a2+b2=c2,sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=aba^2+b^2=c^2,\quad \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \tan\alpha=\frac{a}{b}
Формула словами

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Синус и косинус сравнивают катет с гипотенузой, а тангенс — противолежащий катет с прилежащим.

Теорема Пифагора и тригонометрические отношения для острого угла прямоугольного треугольника.
a, b, c
стороны напротив углов A, B, C
h
высота
p
полупериметр
S
площадь треугольника

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. отметить прямой угол, гипотенузу и катеты относительно выбранного острого угла
  2. выбрать теорему Пифагора или отношение, содержащее известную и искомую величины
  3. решить уравнение и проверить, что гипотенуза является самой длинной стороной

Разбор по шагам

Два примера

Пример 5.1

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите гипотенузу.

  1. c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
  2. c = 13, так как длина положительна.

Ответ: 13

Пример 5.2

Противолежащий углу α катет равен 3, гипотенуза — 5. Найдите sin α.

  1. Синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
  2. sin α = 3/5.

Ответ: 3/5

Типичные ошибки

  • принимать любой треугольник за прямоугольный
  • путать гипотенузу с катетом
  • терять квадратный корень

Открыть отдельный урок

6

Геометрия · подробный конспект

Центральные и вписанные углы, касательные и хорды

Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.

Центральный угол имеет вершину в центре окружности, вписанный — вершину на окружности, а обе его стороны пересекают окружность. Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет одну общую точку.

Опорная идея

Центральный угол равен мере своей дуги, вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, а радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

Центральный угол равен мере своей дуги, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен её половине. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

В конфигурации сначала указывают дугу, на которую опирается угол, и только затем сравнивают углы. Равные хорды стягивают равные дуги, а перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.

Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

∠AOB=AB⌢,∠ACB=12AB⌢\angle AOB=\overset{\frown}{AB},\qquad \angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}
Формула словами

Центральный угол равен градусной мере дуги, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине этой меры.

Связь центрального и вписанного углов с градусной мерой одной дуги.
R
радиус окружности
d = 2R
диаметр
L = 2πR
длина окружности
S = πR²
площадь круга

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. указать дугу, на которую опирается рассматриваемый угол
  2. определить положение вершины угла — в центре или на окружности
  3. применить полную или половинную меру дуги и проверить конфигурацию

Разбор по шагам

Два примера

Пример 6.1

Дуга AB равна 120°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на эту дугу.

  1. Вписанный угол равен половине своей дуги.
  2. ∠ACB = 120° / 2 = 60°.

Ответ: 60°

Пример 6.2

Центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, вписанный равен 35°. Найдите центральный.

  1. Центральный угол вдвое больше вписанного.
  2. 2 · 35° = 70°.

Ответ: 70°

Типичные ошибки

  • путать радиус и диаметр
  • использовать формулу площади вместо длины
  • не видеть прямой угол в точке касания

Открыть отдельный урок

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Какими свойствами диагоналей обладает квадрат?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция»?
  3. Задание 3
    Диагонали параллелограмма равны. Докажите, что это прямоугольник.
  4. Задание 4
    Как относятся площади подобных фигур при коэффициенте k?
  5. Задание 5
    С какого действия разумно начать работу по теме «Теорема Фалеса и средние линии»?
  6. Задание 6
    Средняя линия треугольника параллельна стороне длиной 14 см. Найдите среднюю линию.
  7. Задание 7
    Как относятся площади подобных фигур при коэффициенте k?
  8. Задание 8
    С какого действия разумно начать работу по теме «Подобие треугольников»?
  9. Задание 9
    Сторона второго подобного треугольника в 3 раза больше. Во сколько раз больше его площадь?
  10. Задание 10
    В каких единицах измеряют площадь?
  11. Задание 11
    С какого действия разумно начать работу по теме «Площади многоугольников»?
  12. Задание 12
    Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см.

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокПараллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецияШаг 2 · УрокТеорема Фалеса и средние линииШаг 3 · УрокПодобие треугольниковШаг 4 · УрокПлощади многоугольниковШаг 5 · УрокТеорема Пифагора и элементы тригонометрииШаг 6 · УрокЦентральные и вписанные углы, касательные и хорды

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.