Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция · 8 класс

Главная идея

Что нужно понять

Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон; прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — с равными сторонами, квадрат — одновременно прямоугольник и ромб, трапеция имеет одну пару параллельных оснований.

Диагонали параллелограмма делятся пополам; у прямоугольника они равны, у ромба перпендикулярны и делят углы пополам, у квадрата выполняются все эти свойства.

Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон; прямоугольник добавляет прямые углы, ромб — равные стороны, квадрат обладает обоими свойствами. У трапеции выделяют одну пару параллельных оснований.

В доказательстве вид четырёхугольника устанавливают по достаточному признаку: например, диагонали параллелограмма делятся пополам, у прямоугольника они ещё и равны, у ромба — перпендикулярны.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Опорная формула

S_{\parallel}=ah,\qquad S_{\text{трап}}=\frac{(a+b)h}{2}

Формула словами

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площади параллелограмма и трапеции через основания и высоту.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b: длины соседних сторон
hₐ: высота к стороне a
d₁, d₂: диагонали
S = ahₐ: площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи

выписать данные о параллельности, равенстве сторон, углах и диагоналях
выбрать достаточный признак наиболее специального вида четырёхугольника
применить свойства только после обоснования вида фигуры

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Диагонали параллелограмма равны. Докажите, что это прямоугольник.

Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Ответ: Это прямоугольник

Пример 2

Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 10 и высотой 4.

Полусумма оснований: (6 + 10)/2 = 8.
S = 8 · 4 = 32.

Ответ: 32

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковую сторону за высоту
переносить свойства квадрата на любую трапецию
делить площадь параллелограмма на два