Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция · 8 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПараллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон; прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — с равными сторонами, квадрат — одновременно прямоугольник и ромб, трапеция имеет одну пару параллельных оснований.

Диагонали параллелограмма делятся пополам; у прямоугольника они равны, у ромба перпендикулярны и делят углы пополам, у квадрата выполняются все эти свойства.

Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон; прямоугольник добавляет прямые углы, ромб — равные стороны, квадрат обладает обоими свойствами. У трапеции выделяют одну пару параллельных оснований.

В доказательстве вид четырёхугольника устанавливают по достаточному признаку: например, диагонали параллелограмма делятся пополам, у прямоугольника они ещё и равны, у ромба — перпендикулярны.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Схема к теме

Алгоритм: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция

1. Выписать — данные о параллельности, равенстве сторон, углах и диагоналях
2. Выбрать — достаточный признак наиболее специального вида четырёхугольника
3. Применить — свойства только после обоснования вида фигуры

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Диагонали параллелограмма делятся пополам; у прямоугольника они равны, у ромба перпендикулярны и делят углы пополам, у квадрата выполняются все эти свойства.

Опорная формула

S_{\parallel}=ah,\qquad S_{\text{трап}}=\frac{(a+b)h}{2}

Формула словами

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площади параллелограмма и трапеции через основания и высоту.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b: длины соседних сторон
hₐ: высота к стороне a
d₁, d₂: диагонали
S = ahₐ: площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи

выписать данные о параллельности, равенстве сторон, углах и диагоналях
выбрать достаточный признак наиболее специального вида четырёхугольника
применить свойства только после обоснования вида фигуры

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Диагонали параллелограмма равны. Докажите, что это прямоугольник.

Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Ответ: Это прямоугольник

Пример 2

Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 10 и высотой 4.

Полусумма оснований: (6 + 10)/2 = 8.
S = 8 · 4 = 32.

Ответ: 32

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковую сторону за высоту
переносить свойства квадрата на любую трапецию
делить площадь параллелограмма на два

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковую сторону за высоту

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Параллелограмм имеет две пары параллельных противоположных сторон; прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — с равными сторонами, квадрат — одновременно прямоугольник и ромб, трапеция имеет одну пару параллельных оснований.
Вы расшифровали математическую запись словами: Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…