Теорема Фалеса и средние линии · 8 класс

Главная идея

Что нужно понять

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон; средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Теорема Фалеса описывает пропорциональные отрезки, отсекаемые параллельными прямыми.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине, а средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Сначала доказывают параллельность или принадлежность точек серединам, затем записывают пропорцию в одинаковом порядке; у средней линии коэффициент 1/2 относится к соответствующей стороне.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный масштаб. Поэтому соответствующие длины изменяются в k раз, площади — в k² раз, а объёмы пространственных тел — в k³ раз.

Опорная формула

MN=\frac{BC}{2},\qquad m_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2}

Формула словами

Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны. Средняя линия трапеции равна половине суммы длин двух её оснований.

Длины средних линий треугольника и трапеции.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: треугольники подобны
k: коэффициент подобия длин
k²: отношение площадей
гомотетия: преобразование с единым центром и коэффициентом k

Алгоритм

Как решать задачи

проверить, что концы отрезка являются серединами соответствующих сторон
установить параллельность по теореме Фалеса или свойству средней линии
записать отношение соответствующих отрезков в одном порядке

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Средняя линия треугольника параллельна стороне длиной 14 см. Найдите среднюю линию.

Средняя линия равна половине параллельной стороны.
14 : 2 = 7 см.

Ответ: 7 см

Пример 2

Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Найдите среднюю линию.

Средняя линия равна полусумме оснований.
(8 + 12)/2 = 10 см.

Ответ: 10 см

Самопроверка

Типичные ошибки

сравнивать несоответствующие стороны
считать площади пропорциональными k
делать вывод о подобии только по одной паре сторон