Функции и неравенства
Действительные числа, квадратные уравнения, подобие и условная вероятность.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «линейные неравенства», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «степенные функции», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «модуль и обратная пропорциональность», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Линейные неравенства и их системы
Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.
Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.
При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.
При прибавлении одного выражения к обеим частям знак не меняется, а при умножении или делении на отрицательное число меняется на противоположный. Ответом обычно является числовой промежуток.
Решение системы неравенств — пересечение множеств решений всех условий. На числовой прямой нужно учитывать строгие и нестрогие границы и выбирать только общую часть промежутков.
Почему это работает. Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.
Изменение направления неравенства при умножении на −1.- <, >
- строгое сравнение; граница не входит
- ≤, ≥
- нестрогое сравнение; граница входит
- (a; b)
- открытый промежуток
- [a; b]
- отрезок с включёнными концами
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- перенести выражения в одну часть
- найти граничные точки
- определить знаки на промежутках
Разбор по шагам
Два примера
Решите −2x > 6.
- Делим обе части на −2.
- Меняем знак неравенства на противоположный.
Ответ: x < −3
Решите −3x + 4 ≥ 10.
- Переносим 4: −3x ≥ 6.
- Делим на −3 и меняем знак неравенства.
- Получаем x ≤ −2.
Ответ: (−∞; −2]
Типичные ошибки
- не менять знак при делении на отрицательное число
- записывать только границы без промежутка
- включать точку при строгом знаке
Алгебра · подробный конспект
Функции y = x², y = x³, y = √x и y = k/x
Функция задаёт правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует единственное значение.
Область определения содержит допустимые значения x, множество значений — все получающиеся значения y, а график изображает пары (x; y).
Преобразования y = f(x) + b и y = f(x − a) сдвигают график вертикально и горизонтально соответственно.
Каждая базовая функция имеет собственные область определения, симметрию и характер изменения. Например, √x существует при x ≥ 0, а k/x — при x ≠ 0.
Преобразования аргумента и значения сдвигают или растягивают знакомый график. Перед построением отмечают область определения, нули, симметрию и несколько характерных точек.
Почему это работает. Функция задаёт правило соответствия: каждому допустимому x сопоставляется ровно одно y. График собирает все пары (x; f(x)), поэтому изменение формулы можно читать как геометрическое преобразование графика.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Значение линейной функции получают, умножив x на коэффициент наклона k и прибавив свободный член b.
Общий вид линейной функции.- y = f(x)
- значение функции при аргументе x
- D(f)
- область допустимых аргументов
- E(f)
- множество значений функции
- k, b
- наклон и сдвиг прямой y = kx + b
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- найти область определения
- вычислить характерные точки
- исследовать нули, знаки и монотонность
Разбор по шагам
Два примера
Найдите нуль функции y = 2x − 6.
- В точке пересечения с осью x значение y равно нулю.
- Решаем 2x − 6 = 0.
Ответ: 3
Постройте y = (x − 2)² + 1 по графику y = x².
- Замена x на x − 2 сдвигает параболу на 2 вправо.
- Прибавление 1 сдвигает её на 1 вверх.
- Вершина переходит из (0; 0) в (2; 1).
Ответ: Парабола с вершиной (2; 1), ветви направлены вверх
Типичные ошибки
- путать аргумент и значение
- игнорировать область определения
- сдвигать f(x − a) в неверную сторону
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.