УмбликМатематика
К маршруту 8 класса
Математика8 классБазовый курс 4 подробных конспектовНагрузка предмета в 8 классе: 204 ч, 6 ч/нед.: алгебра 102, геометрия 68, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Действительные числа и уравнения

Действительные числа, квадратные уравнения, подобие и условная вероятность.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «квадратные корни», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «алгебраические дроби», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «квадратные и рациональные уравнения», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Алгебра · подробный конспект

Квадратные корни и действительные числа

Квадратный корень обращает возведение в квадрат и позволяет точно описывать длины и числа, которые не выражаются конечной десятичной дробью.

Арифметический квадратный корень из a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; в действительных числах он существует только при a ≥ 0.

Опорная идея

Из равенства x² = a при a > 0 следуют два решения x = ±√a, но запись √a обозначает только неотрицательное значение; поэтому √(a²) = |a|.

Арифметический квадратный корень √a определён при a ≥ 0 и всегда неотрицателен. Равенство √(a²) = |a| учитывает оба возможных знака исходного числа.

Иррациональные числа нельзя записать конечной или периодической десятичной дробью, но их можно приближённо расположить на числовой прямой. Для √20 используют границы 4² < 20 < 5².

Почему это работает. Квадрат неотрицателен для любого действительного числа, поэтому действительного корня из отрицательного числа нет. Два противоположных числа имеют одинаковый квадрат, что объясняет знак ± в уравнении x² = a и модуль в тождестве √(a²) = |a|.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

a2=∣a∣,ab=a b(a,b≥0)\sqrt{a^2}=|a|,\qquad \sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\quad(a,b\ge0)
Формула словами

Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их квадратных корней.

Связь квадратного корня с модулем и правило корня из произведения неотрицательных множителей.
√a
арифметический, то есть неотрицательный, квадратный корень
a ≥ 0
условие существования √a в действительных числах
|a|
неотрицательный модуль числа a
x = ±√a
два корня уравнения x² = a при a > 0

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. проверить неотрицательность подкоренного выражения
  2. выделить из подкоренного числа полный квадрат
  3. применить свойства корней и упростить запись
  4. проверить знак и оценить результат между соседними целыми

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Упростите √72.

  1. Разложим 72 = 36 · 2, где 36 — полный квадрат.
  2. √72 = √36 · √2.
  3. √36 = 6, поэтому получаем 6√2.

Ответ: 6√2

Пример 1.2

Сравните √45 и 7 без калькулятора.

  1. Оба числа неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты.
  2. (√45)² = 45, а 7² = 49.
  3. Так как 45 < 49, то √45 < 7.

Ответ: √45 < 7

Типичные ошибки

  • писать ±√a вместо арифметического корня √a
  • заменять √(a²) на a без учёта отрицательных a
  • складывать корни по ложному правилу √(a + b) = √a + √b

Открыть отдельный урок

2

Алгебра · подробный конспект

Степень с целым показателем

Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.

Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.

Опорная идея

Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Отрицательный показатель задаёт обратное число: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Нулевой показатель даёт a⁰ = 1 также только для ненулевого основания.

Правила произведения, частного и степени степени действуют для одинаковых оснований с учётом ОДЗ. Отрицательный показатель не делает само значение автоматически отрицательным.

Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}
Формула словами

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.

Свойство степеней с одинаковым основанием.
aⁿ
произведение n одинаковых множителей a
√a
неотрицательное число, квадрат которого равен a
|a|
расстояние от a до нуля
−a
число, противоположное a

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить допустимые действия
  2. соблюсти порядок вычислений
  3. оценить знак и примерный размер ответа

Разбор по шагам

Два примера

Пример 2.1

Вычислите 2³ · 2⁴.

  1. Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
  2. 2³ · 2⁴ = 2⁷.

Ответ: 128

Пример 2.2

Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.

  1. При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
  2. При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
  3. 2⁴ = 16.

Ответ: 16

Типичные ошибки

  • нарушать порядок действий
  • складывать основания степеней
  • терять знак отрицательного числа

Открыть отдельный урок

3

Алгебра · подробный конспект

Алгебраические дроби

Дроби, отношения и проценты описывают часть целого и позволяют сравнивать величины в едином масштабе.

Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.

Опорная идея

Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.

Алгебраическая дробь определена только там, где её знаменатель не равен нулю. ОДЗ записывают до сокращения, потому что преобразование не возвращает исключённые исходной дробью значения.

Сокращают общие множители числителя и знаменателя после разложения на множители. При сложении находят общий знаменатель и домножают каждую дробь на недостающие множители.

Почему это работает. Дробь обозначает и результат деления, и часть единицы. Общий знаменатель разбивает сравниваемые доли на одинаковые части; только после этого их числители можно складывать или сравнивать.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

p% от a=p100 ap\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\,a
Формула словами

Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.

Нахождение процента от величины.
a/b
a — числитель, b — знаменатель, b ≠ 0
p%
p сотых долей, то есть p/100
a : b
отношение величины a к величине b
НОЗ
наименьший общий знаменатель

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить целое и искомую часть
  2. перевести проценты или отношения в дробь
  3. выполнить действие и проверить смысл результата

Разбор по шагам

Два примера

Пример 3.1

Найдите 15% от 200.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем 200 · 0,15.

Ответ: 30

Пример 3.2

Найдите 15% от 240.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем целое на долю: 240 · 0,15.
  3. Получаем 36.

Ответ: 36

Типичные ошибки

  • делить на процент вместо умножения
  • складывать дроби без общего знаменателя
  • не указывать, какая величина принята за 100%

Открыть отдельный урок

4

Алгебра · подробный конспект

Квадратные уравнения и теорема Виета

Квадратные зависимости возникают, когда переменная входит во второй степени; их график — парабола.

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Число корней определяет дискриминант.

Опорная идея

После вычисления дискриминанта используют формулу корней; найденные значения полезно проверить подстановкой.

Дискриминант определяет число действительных корней квадратного уравнения: два при D > 0, один при D = 0 и ни одного при D < 0. Коэффициент a обязан быть ненулевым.

По теореме Виета для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение q. Эти связи помогают подобрать корни и проверить формулу.

Почему это работает. Полный квадрат ax² + bx + c можно преобразовать так, чтобы отдельно увидеть квадрат выражения и постоянную часть. Дискриминант возникает при этом преобразовании и показывает, пересекает ли парабола ось Ox в двух, одной или ни одной точке.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

D=b2−4ac,x1,2=−b±D2aD=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
Формула словами

Сначала из квадрата b вычитают четыре произведения a и c — это дискриминант. Корни получают, разделив минус b плюс или минус корень из дискриминанта на два a.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения.
a, b, c
коэффициенты квадратного уравнения, a ≠ 0
D
дискриминант b² − 4ac
x₁, x₂
корни уравнения
(x₀; y₀)
координаты вершины параболы

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. привести уравнение к стандартному виду
  2. найти дискриминант
  3. вычислить и проверить корни

Разбор по шагам

Два примера

Пример 4.1

Решите x² − 5x + 6 = 0.

  1. D = 25 − 24 = 1.
  2. x = (5 ± 1)/2.

Ответ: 2 и 3

Пример 4.2

Решите 2x² + x − 3 = 0.

  1. D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.
  2. x = (−1 ± 5)/4.
  3. Получаем x₁ = 1, x₂ = −3/2.

Ответ: 1; −3/2

Типичные ошибки

  • терять знак коэффициента b
  • делить только часть числителя на 2a
  • забывать условие a ≠ 0

Открыть отдельный урок

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Какой знак имеет арифметический квадратный корень?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Квадратные корни и действительные числа»?
  3. Задание 3
    Упростите √72.
  4. Задание 4
    Какое действие выполняют раньше умножения?
  5. Задание 5
    С какого действия разумно начать работу по теме «Степень с целым показателем»?
  6. Задание 6
    Вычислите 2³ · 2⁴.
  7. Задание 7
    Чему равен один процент?
  8. Задание 8
    С какого действия разумно начать работу по теме «Алгебраические дроби»?
  9. Задание 9
    Найдите 15% от 200.
  10. Задание 10
    Как выглядит график квадратичной функции?
  11. Задание 11
    С какого действия разумно начать работу по теме «Квадратные уравнения и теорема Виета»?
  12. Задание 12
    Решите x² − 5x + 6 = 0.

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокКвадратные корни и действительные числаШаг 2 · УрокСтепень с целым показателемШаг 3 · УрокАлгебраические дробиШаг 4 · УрокКвадратные уравнения и теорема Виета

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.