Центральные и вписанные углы, касательные и хорды · 8 класс

Главная идея

Что нужно понять

Центральный угол имеет вершину в центре окружности, вписанный — вершину на окружности, а обе его стороны пересекают окружность. Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет одну общую точку.

Центральный угол равен мере своей дуги, вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, а радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

Центральный угол равен мере своей дуги, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен её половине. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

В конфигурации сначала указывают дугу, на которую опирается угол, и только затем сравнивают углы. Равные хорды стягивают равные дуги, а перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.

Опорная формула

\angle AOB=\overset{\frown}{AB},\qquad \angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}

Формула словами

Центральный угол равен градусной мере дуги, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине этой меры.

Связь центрального и вписанного углов с градусной мерой одной дуги.

Расшифровка

Обозначения и термины

R: радиус окружности
d = 2R: диаметр
L = 2πR: длина окружности
S = πR²: площадь круга

Алгоритм

Как решать задачи

указать дугу, на которую опирается рассматриваемый угол
определить положение вершины угла — в центре или на окружности
применить полную или половинную меру дуги и проверить конфигурацию

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Дуга AB равна 120°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на эту дугу.

Вписанный угол равен половине своей дуги.
∠ACB = 120° / 2 = 60°.

Ответ: 60°

Пример 2

Центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, вписанный равен 35°. Найдите центральный.

Центральный угол вдвое больше вписанного.
2 · 35° = 70°.

Ответ: 70°

Самопроверка

Типичные ошибки

путать радиус и диаметр
использовать формулу площади вместо длины
не видеть прямой угол в точке касания