Теорема Вариньона · 8 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюТеорема Вариньона

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Если соединить середины соседних сторон любого четырёхугольника, получится параллелограмм. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника по свойству средней линии треугольника.

Теорема не требует, чтобы исходный четырёхугольник был прямоугольником или даже выпуклым; важны только середины его сторон.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Схема к теме

Алгоритм: Теорема Вариньона

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1. Определить — вид четырёхугольника
2. Отметить — известные свойства
3. Выделить — треугольники или применить формулу площади

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Опорная формула

S_{\text{параллелограмма}}=ah

Формула словами

Площадь параллелограмма равна длине выбранного основания, умноженной на высоту, проведённую к этому основанию.

Площадь параллелограмма через основание и соответствующую высоту.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b: длины соседних сторон
hₐ: высота к стороне a
d₁, d₂: диагонали
S = ahₐ: площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи

определить вид четырёхугольника
отметить известные свойства
выделить треугольники или применить формулу площади

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите площадь параллелограмма с основанием 7 и высотой 4.

Площадь равна произведению основания на высоту.
7 · 4 = 28.

Ответ: 28

Пример 2

Основания трапеции равны 6 и 10, высота 4. Найдите площадь.

Средняя длина оснований: (6 + 10)/2 = 8.
Умножаем на высоту: S = 8 · 4.

Ответ: 32

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковую сторону за высоту
переносить свойства квадрата на любую трапецию
делить площадь параллелограмма на два

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Теорема Вариньона» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковую сторону за высоту

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Вы расшифровали математическую запись словами: Площадь параллелограмма равна длине выбранного основания, умноженной на высоту, проведённую к этому основанию.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…