Параллельный перенос и поворот · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПараллельный перенос и поворот

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.

Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор к координатам каждой точки.

Параллельный перенос прибавляет к каждой точке один вектор, а поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на заданный угол. Оба преобразования являются движениями.

Для построения достаточно перенести характерные точки, сохраняя один вектор, либо провести из центра лучи с равными углами и отложить прежние расстояния.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Движение сохраняет расстояния, а значит — углы, площади и форму фигуры. Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор ко всем точкам; поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на один угол.

Схема к теме

Алгоритм: Параллельный перенос и поворот

Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.

1. Определить — вид преобразования
2. Найти образ — характерных точек
3. Проверить — сохраняемые свойства

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор к координатам каждой точки.

Опорная формула

(x;y)\mapsto(x+a;y+b)

Формула словами

При переносе на вектор с координатами a и b к x каждой точки прибавляют a, а к y прибавляют b.

Параллельный перенос на вектор (a; b).

Расшифровка

Обозначения и термины

A → A′: образ точки A
v⃗: вектор переноса
O: центр поворота или симметрии
φ: угол поворота

Алгоритм

Как решать задачи

определить вид преобразования
найти образ характерных точек
проверить сохраняемые свойства

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Перенесите точку (1; 2) на вектор (3; −1).

Прибавим соответствующие координаты.
(1 + 3; 2 − 1).

Ответ: (4; 1)

Пример 2

Перенесите B(−1; 2) на вектор v⃗ = (4; −3).

Складываем соответствующие координаты.
x′ = −1 + 4 = 3.
y′ = 2 − 3 = −1.

Ответ: B′(3; −1)

Самопроверка

Типичные ошибки

менять только одну точку фигуры
путать поворот и гомотетию
считать, что гомотетия всегда сохраняет длины

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Параллельный перенос и поворот» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: менять только одну точку фигуры

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.
Вы расшифровали математическую запись словами: При переносе на вектор с координатами a и b к x каждой точки прибавляют a, а к y прибавляют b.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…