Формула Герона и дополнительные формулы площади · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюФормула Герона и дополнительные формулы площади

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Полупериметр треугольника p = (a + b + c)/2. В формуле S = pr буква r означает радиус вписанной окружности, а в S = ab·sin C/2 угол C лежит между сторонами a и b.

По трём сторонам используют формулу Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Стороны должны быть положительными и каждая меньше суммы двух других. По двум сторонам и углу между ними S = ab·sin C/2; по полупериметру и радиусу вписанной окружности S = pr.

Формула Герона S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) находит площадь по трём сторонам. Перед вычислением проверяют неравенство треугольника и находят полупериметр p = (a+b+c)/2.

Подкоренное выражение неотрицательно именно для сторон существующего треугольника; нулевое значение соответствует вырожденной фигуре.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Высота даёт привычную формулу S = ah/2. Если h = b·sin C, получаем S = ab·sin C/2; это верно и для тупого угла между сторонами. Например, при a = 8, b = 10, C = 150° площадь равна 8·10·(1/2)/2 = 20. Соединяя центр вписанной окружности с вершинами, разбиваем треугольник на три треугольника с высотой r: их площади дают r(a + b + c)/2 = pr. Теорема Пифагора остаётся предпосылкой: катеты 6 и 8 дают гипотенузу 10, а катеты 5 и 12 — гипотенузу 13; эти примеры не заменяют расчёт площади по Герону.

Схема к теме

Алгоритм: Формула Герона и дополнительные формулы площади

1. Проверить — положительность сторон и строгое неравенство треугольника, если даны три стороны
2. Выбрать формулу — по известным данным и при необходимости найти полупериметр
3. Вычислить — площадь без промежуточного округления и проверить квадратные единицы

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: По трём сторонам используют формулу Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Стороны должны быть положительными и каждая меньше суммы двух других. По двум сторонам и углу между ними S = ab·sin C/2; по полупериметру и радиусу вписанной окружности S = pr.

Опорная формула

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2};\qquad S=\frac{ab\sin C}{2}=pr

Формула словами

Для формулы Герона находят полупериметр и корень из произведения полупериметра на три его разности со сторонами. Также площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними или произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Формула Герона и дополнительные формулы площади невырожденного треугольника.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c: положительные длины сторон треугольника
p: полупериметр (a + b + c)/2
r: радиус вписанной окружности
C: угол между сторонами a и b

Алгоритм

Как решать задачи

проверить положительность сторон и строгое неравенство треугольника, если даны три стороны
выбрать формулу по известным данным и при необходимости найти полупериметр
вычислить площадь без промежуточного округления и проверить квадратные единицы

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см.

13 + 14 > 15, остальные неравенства также выполнены.
p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 см.
S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².

Ответ: 84 см²

Пример 2

Периметр треугольника равен 30 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь.

Полупериметр p = 30/2 = 15 см.
S = pr = 15·2 = 30 см².

Ответ: 30 см²

Самопроверка

Типичные ошибки

подставлять периметр вместо полупериметра
применять формулу к сторонам вырожденного или несуществующего треугольника
брать угол, не лежащий между выбранными сторонами
путать радиусы вписанной и описанной окружностей

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Формула Герона и дополнительные формулы площади» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: подставлять периметр вместо полупериметра

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Полупериметр треугольника p = (a + b + c)/2. В формуле S = pr буква r означает радиус вписанной окружности, а в S = ab·sin C/2 угол C лежит между сторонами a и b.
Вы расшифровали математическую запись словами: Для формулы Герона находят полупериметр и корень из произведения полупериметра на три его разности со сторонами. Также площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними или произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…