Теоремы Чевы и Менелая · 9 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюТеоремы Чевы и Менелая

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Теорема Чевы проверяет, пересекаются ли три cevianы в одной точке; теорема Менелая — лежат ли три точки на одной прямой.

Перед применением важно выбрать согласованные отношения направленных или ненаправленных отрезков и не менять порядок множителей.

В теме «Теоремы Чевы и Менелая» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Теоремы Чевы и Менелая связывают отношения отрезков на сторонах треугольника с конкурентностью и коллинеарностью прямых.

Полное решение на уровне 9 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Теоремы Чевы и Менелая заменяют сложную конфигурацию одним произведением отношений на сторонах треугольника. Чева распознаёт пересечение трёх отрезков в одной точке, Менелай — расположение трёх точек на одной прямой.

Схема к теме

Алгоритм: Теоремы Чевы и Менелая

1. Обозначить — точки на сторонах
2. Записать — отношения в согласованном порядке
3. Проверить — произведение и сформулировать вывод

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Перед применением важно выбрать согласованные отношения направленных или ненаправленных отрезков и не менять порядок множителей.

Опорная формула

\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1

Формула словами

По теореме Чевы произведение трёх отношений, на которые чевианы делят стороны треугольника, равно единице.

Мультипликативное условие теоремы Чевы.

Расшифровка

Обозначения и термины

AD, BE, CF: чевианы треугольника
AF/FB: отношение частей стороны AB
= 1: критерий теоремы Чевы
коллинеарны: лежат на одной прямой

Алгоритм

Как решать задачи

обозначить точки на сторонах
записать отношения в согласованном порядке
проверить произведение и сформулировать вывод

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Какое произведение отношений даёт теорема Чевы?

Каждая медиана делит противоположную сторону пополам.
Каждое отношение равно 1, поэтому произведение равно 1.

Ответ: 1

Пример 2

В треугольнике AF/FB = 2, BD/DC = 3. Найдите CE/EA, чтобы чевианы пересеклись в одной точке.

По Чеве произведение трёх отношений равно 1.
2 · 3 · CE/EA = 1.
CE/EA = 1/6.

Ответ: 1/6

Самопроверка

Типичные ошибки

переворачивать одно отношение
смешивать Чеву и Менелая
не учитывать продолжения сторон

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Теоремы Чевы и Менелая» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: переворачивать одно отношение

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Теорема Чевы проверяет, пересекаются ли три cevianы в одной точке; теорема Менелая — лежат ли три точки на одной прямой.
Вы расшифровали математическую запись словами: По теореме Чевы произведение трёх отношений, на которые чевианы делят стороны треугольника, равно единице.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…