УмбликМатематика
К маршруту 10 класса
Математика10 классБазовый курс 6 подробных конспектовНагрузка предмета в 10 классе: 170 ч: алгебра и анализ 68, геометрия 68, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Стереометрия и многогранники

Тригонометрия и функции, стереометрия, комбинаторика и распределения.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «прямые и плоскости», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «углы, расстояния и сечения», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «площади и объёмы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Геометрия · подробный конспект

Аксиомы стереометрии

Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Опорная идея

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Основные аксиомы задают плоскость тремя неколлинеарными точками, гарантируют принадлежность всей прямой плоскости по двум её точкам и описывают линию пересечения двух плоскостей.

В доказательстве сначала называют аксиому или следствие, которое задаёт плоскость либо общую прямую, и только затем делают вывод о принадлежности пространственных объектов.

Почему это работает. Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

d(A,α)=∣AH∣,AH⊥αd(A,\alpha)=|AH|,\qquad AH\perp\alpha
Формула словами

Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки A до плоскости α.
α, β
плоскости
a ∥ α
прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α
AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α)
расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить взаимное расположение объектов
  2. построить проекцию или перпендикуляр
  3. найти нужную величину в плоском сечении

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

  1. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
  2. Перпендикуляр AH уже дан.

Ответ: 4

Пример 1.2

Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.

  1. AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
  2. AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
  3. AH = 12.

Ответ: 12

Типичные ошибки

  • считать скрещивающиеся прямые параллельными
  • брать наклонную вместо перпендикуляра
  • доверять перспективному рисунку без доказательства

Открыть отдельный урок

2

Геометрия · подробный конспект

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Опорная идея

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Прямая и плоскость пересекаются, параллельны либо прямая целиком лежит в плоскости; две плоскости пересекаются по прямой или параллельны.

Классификацию подтверждают числом общих точек и существованием общей плоскости. Отсутствие точки пересечения ещё не делает две пространственные прямые параллельными.

Почему это работает. Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

d(A,α)=∣AH∣,AH⊥αd(A,\alpha)=|AH|,\qquad AH\perp\alpha
Формула словами

Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки A до плоскости α.
α, β
плоскости
a ∥ α
прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α
AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α)
расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить взаимное расположение объектов
  2. построить проекцию или перпендикуляр
  3. найти нужную величину в плоском сечении

Разбор по шагам

Два примера

Пример 2.1

Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

  1. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
  2. Перпендикуляр AH уже дан.

Ответ: 4

Пример 2.2

Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.

  1. AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
  2. AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
  3. AH = 12.

Ответ: 12

Типичные ошибки

  • считать скрещивающиеся прямые параллельными
  • брать наклонную вместо перпендикуляра
  • доверять перспективному рисунку без доказательства

Открыть отдельный урок

3

Геометрия · подробный конспект

Параллельность и перпендикулярность в пространстве

Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Опорная идея

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Плоскости перпендикулярны, если одна содержит прямую, перпендикулярную другой.

Для доказательства параллельности или перпендикулярности находят подходящие линии в гранях, применяют пространственный признак и не переносят свойства плоского рисунка без обоснования.

Почему это работает. Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

d(A,α)=∣AH∣,AH⊥αd(A,\alpha)=|AH|,\qquad AH\perp\alpha
Формула словами

Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки A до плоскости α.
α, β
плоскости
a ∥ α
прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α
AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α)
расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить взаимное расположение объектов
  2. построить проекцию или перпендикуляр
  3. найти нужную величину в плоском сечении

Разбор по шагам

Два примера

Пример 3.1

Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

  1. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
  2. Перпендикуляр AH уже дан.

Ответ: 4

Пример 3.2

Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.

  1. AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
  2. AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
  3. AH = 12.

Ответ: 12

Типичные ошибки

  • считать скрещивающиеся прямые параллельными
  • брать наклонную вместо перпендикуляра
  • доверять перспективному рисунку без доказательства

Открыть отдельный урок

4

Геометрия · подробный конспект

Расстояния и углы в пространстве

Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Опорная идея

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией, двугранный угол измеряют линейным углом.

Пространственную задачу сводят к плоскому прямоугольному треугольнику: строят общий перпендикуляр или проекцию, доказывают нужные прямые углы и лишь затем вычисляют длину либо угол.

Почему это работает. Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

d(A,α)=∣AH∣,AH⊥αd(A,\alpha)=|AH|,\qquad AH\perp\alpha
Формула словами

Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки A до плоскости α.
α, β
плоскости
a ∥ α
прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α
AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α)
расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить взаимное расположение объектов
  2. построить проекцию или перпендикуляр
  3. найти нужную величину в плоском сечении

Разбор по шагам

Два примера

Пример 4.1

Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

  1. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
  2. Перпендикуляр AH уже дан.

Ответ: 4

Пример 4.2

Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.

  1. AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
  2. AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
  3. AH = 12.

Ответ: 12

Типичные ошибки

  • считать скрещивающиеся прямые параллельными
  • брать наклонную вместо перпендикуляра
  • доверять перспективному рисунку без доказательства

Открыть отдельный урок

5

Геометрия · подробный конспект

Призмы, параллелепипеды и пирамиды

Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.

Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.

Опорная идея

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды составляет треть такого произведения.

У призмы два равных параллельных основания, у пирамиды одно основание, а боковые треугольники сходятся в вершине. Прямой параллелепипед является призмой, но высота наклонной призмы не равна её боковому ребру.

Для вычислений выделяют основание и перпендикулярную высоту: Vпр = Sоснh, Vпир = Sоснh/3. Площадь поверхности равна сумме площадей всех граней.

Почему это работает. Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

Vпризмы=Sоснh,Vпирамиды=13SоснhV_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac13S_{\text{осн}}h
Формула словами

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды такое произведение дополнительно делят на три.

Объёмы призмы и пирамиды.
Sосн
площадь основания
h
перпендикулярная высота
V = Sосн·h
объём призмы
V = ⅓Sосн·h
объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. построить понятный чертёж
  2. выделить основание и высоту
  3. свести пространственные вычисления к плоским фигурам

Разбор по шагам

Два примера

Пример 5.1

Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.

  1. Используем V = Sосн · h.
  2. Подставим 12 · 5.

Ответ: 60

Пример 5.2

Найдите объём пирамиды: Sосн = 18, h = 7.

  1. Берём треть произведения площади основания на высоту.
  2. V = ⅓ · 18 · 7.
  3. 18 делим на 3 и умножаем на 7.

Ответ: 42

Типичные ошибки

  • принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
  • терять коэффициент 1/3 у пирамиды
  • строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Открыть отдельный урок

6

Геометрия · подробный конспект

Сечения, площади поверхностей и объёмы многогранников

Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, стороны которого лежат в гранях тела. Площадь поверхности равна сумме площадей граней, а объём измеряет часть пространства внутри тела.

Опорная идея

Для призмы V = Sоснh, для пирамиды V = Sоснh/3; боковую и полную поверхности считают по реальным граням, а вершины сечения последовательно соединяют только в общей грани.

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, каждое звено которого лежит в одной грани. Площадь поверхности равна сумме площадей граней, а объёмы призмы и пирамиды равны Sоснh и Sоснh/3.

Сначала строят и проверяют сечение по граням, затем находят его истинные размеры или элементы основания и высоту. Линейные, квадратные и кубические единицы не смешивают.

Почему это работает. Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

Vпр=Sоснh,Vпир=13Sоснh,Sполн=Sбок+2SоснV_{\text{пр}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пир}}=\frac13S_{\text{осн}}h,\qquad S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}
Формула словами

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; у пирамиды это произведение делят на три. Полная поверхность призмы включает боковые грани и оба основания.

Объёмы призмы и пирамиды и полная площадь поверхности призмы.
Sосн
площадь основания
h
перпендикулярная высота
V = Sосн·h
объём призмы
V = ⅓Sосн·h
объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. построить сечение по соседним граням либо выделить основание и перпендикулярную высоту
  2. найти плоские площади сечения, граней или основания
  3. применить формулу поверхности или объёма и проверить квадратные либо кубические единицы

Разбор по шагам

Два примера

Пример 6.1

У прямой призмы Sосн = 12, периметр основания 14 и высота 5. Найдите полную поверхность и объём.

  1. Sбок = 14 · 5 = 70, Sполн = 70 + 2 · 12 = 94.
  2. V = 12 · 5 = 60.

Ответ: S = 94, V = 60

Пример 6.2

Найдите объём пирамиды с площадью основания 24 и высотой 9.

  1. Используем V = Sоснh/3.
  2. V = 24 · 9 / 3 = 72.

Ответ: 72

Типичные ошибки

  • принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
  • терять коэффициент 1/3 у пирамиды
  • строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Открыть отдельный урок

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Аксиомы стереометрии»?
  3. Задание 3
    Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?
  4. Задание 4
    Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?
  5. Задание 5
    С какого действия разумно начать работу по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей»?
  6. Задание 6
    Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?
  7. Задание 7
    Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?
  8. Задание 8
    С какого действия разумно начать работу по теме «Параллельность и перпендикулярность в пространстве»?
  9. Задание 9
    Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?
  10. Задание 10
    Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?
  11. Задание 11
    С какого действия разумно начать работу по теме «Расстояния и углы в пространстве»?
  12. Задание 12
    Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокАксиомы стереометрииШаг 2 · УрокВзаимное расположение прямых и плоскостейШаг 3 · УрокПараллельность и перпендикулярность в пространствеШаг 4 · УрокРасстояния и углы в пространствеШаг 5 · УрокПризмы, параллелепипеды и пирамидыШаг 6 · УрокСечения, площади поверхностей и объёмы многогранников

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.