Сечения, площади поверхностей и объёмы многогранников · 10 класс

Главная идея

Что нужно понять

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, стороны которого лежат в гранях тела. Площадь поверхности равна сумме площадей граней, а объём измеряет часть пространства внутри тела.

Для призмы V = Sоснh, для пирамиды V = Sоснh/3; боковую и полную поверхности считают по реальным граням, а вершины сечения последовательно соединяют только в общей грани.

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, каждое звено которого лежит в одной грани. Площадь поверхности равна сумме площадей граней, а объёмы призмы и пирамиды равны Sоснh и Sоснh/3.

Сначала строят и проверяют сечение по граням, затем находят его истинные размеры или элементы основания и высоту. Линейные, квадратные и кубические единицы не смешивают.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Опорная формула

V_{\text{пр}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пир}}=\frac13S_{\text{осн}}h,\qquad S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}

Формула словами

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; у пирамиды это произведение делят на три. Полная поверхность призмы включает боковые грани и оба основания.

Объёмы призмы и пирамиды и полная площадь поверхности призмы.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн: площадь основания
h: перпендикулярная высота
V = Sосн·h: объём призмы
V = ⅓Sосн·h: объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

построить сечение по соседним граням либо выделить основание и перпендикулярную высоту
найти плоские площади сечения, граней или основания
применить формулу поверхности или объёма и проверить квадратные либо кубические единицы

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

У прямой призмы Sосн = 12, периметр основания 14 и высота 5. Найдите полную поверхность и объём.

Sбок = 14 · 5 = 70, Sполн = 70 + 2 · 12 = 94.
V = 12 · 5 = 60.

Ответ: S = 94, V = 60

Пример 2

Найдите объём пирамиды с площадью основания 24 и высотой 9.

Используем V = Sоснh/3.
V = 24 · 9 / 3 = 72.

Ответ: 72

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
терять коэффициент 1/3 у пирамиды
строить сечение без проверки принадлежности точек граням