Призмы, параллелепипеды и пирамиды · 10 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПризмы, параллелепипеды и пирамиды

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды составляет треть такого произведения.

У призмы два равных параллельных основания, у пирамиды одно основание, а боковые треугольники сходятся в вершине. Прямой параллелепипед является призмой, но высота наклонной призмы не равна её боковому ребру.

Для вычислений выделяют основание и перпендикулярную высоту: Vпр = Sоснh, Vпир = Sоснh/3. Площадь поверхности равна сумме площадей всех граней.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Схема к теме

Алгоритм: Призмы, параллелепипеды и пирамиды

Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.

1. Построить — понятный чертёж
2. Выделить — основание и высоту
3. Свести — пространственные вычисления к плоским фигурам

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды составляет треть такого произведения.

Опорная формула

V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac13S_{\text{осн}}h

Формула словами

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды такое произведение дополнительно делят на три.

Объёмы призмы и пирамиды.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн: площадь основания
h: перпендикулярная высота
V = Sосн·h: объём призмы
V = ⅓Sосн·h: объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

построить понятный чертёж
выделить основание и высоту
свести пространственные вычисления к плоским фигурам

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.

Используем V = Sосн · h.
Подставим 12 · 5.

Ответ: 60

Пример 2

Найдите объём пирамиды: Sосн = 18, h = 7.

Берём треть произведения площади основания на высоту.
V = ⅓ · 18 · 7.
18 делим на 3 и умножаем на 7.

Ответ: 42

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
терять коэффициент 1/3 у пирамиды
строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Призмы, параллелепипеды и пирамиды» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.
Вы расшифровали математическую запись словами: Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды такое произведение дополнительно делят на три.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…