Вероятность и распределения · Математика · 10 класс

Результат модуля

Что вы научитесь делать

Объяснять тему «условная и полная вероятность», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Объяснять тему «комбинаторика и схема Бернулли», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Объяснять тему «биномиальное и геометрическое распределения», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

Вероятность и статистика · конспект

Условная вероятность

Пересчитываем вероятность после получения информации и различаем условность и независимость.

Простыми словами

Правила сложения и умножения вероятностей отвечают на разные вопросы. Сложение обычно связано с выбором одного из вариантов, умножение — с последовательным выполнением нескольких условий.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0

Условная вероятность A при известном событии B.

P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

Вероятность двух событий вместе через вероятность условия и условную вероятность.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Разобранный пример

На честном кубике выпало чётное число. Какова при этом условии вероятность шестёрки?

Простой уровень

Подсказка: После сообщения остаются только три возможных исхода.

Условие оставляет равновозможные исходы 2, 4 и 6.
Из трёх исходов подходит только 6.
Условная вероятность — 1/3.

Ответ: 1/3

Что проверить перед ответом

Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Условная вероятность».
Не применяйте формулу без проверки её условий: Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Попробуйте самостоятельно

Известно P(B)=0,4 и P(A∩B)=0,1. Найдите P(A|B).

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Разделите вероятность пересечения на вероятность условия B.

P(B) > 0, поэтому применима формула условной вероятности.
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,4.
Получаем 0,25.

Ответ: 0,25

Полная статья и три уровня задач

Вероятность и статистика · конспект

Формула полной вероятности

Собираем вероятность события из разных источников с учётом их весов.

Простыми словами

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(A)=\sum_{i=1}^{m}P(H_i)P(A\mid H_i)

Hᵢ образуют полную группу; члены с нулевым весом исключаются из условного вычисления.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Разобранный пример

Две урны выбирают с вероятностями 0,5 и 0,5. Доли красных 0,2 и 0,6. Найдите общий шанс красного.

Простой уровень

Подсказка: Умножьте каждую долю на вес урны.

Вклады 0,5×0,2=0,1 и 0,5×0,6=0,3.
Сумма 0,4.

Ответ: 0,4

Что проверить перед ответом

Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Формула полной вероятности».
Не применяйте формулу без проверки её условий: Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.
После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с вероятностями отдельных событий: он должен согласовываться со смыслом объединения или пересечения.

Попробуйте самостоятельно

Источники имеют веса 0,2;0,5;0,3, условные шансы успеха 0,3;0,2;0,4. Найдите общую вероятность.

Показать подсказку и решение

Используйте все три взвешенных вклада.

Получаем 0,06;0,10;0,12.
Сумма 0,28.

Ответ: 0,28

Полная статья и три уровня задач

Вероятность и статистика · конспект

Схема Бернулли

Считаем ровно k успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью.

Простыми словами

Повторные испытания описывают серию однотипных попыток. Важно различать конкретный порядок успехов и само количество успехов в серии.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,\ldots,n

Для 0 < p < 1 вероятность ровно k успехов в n испытаниях Бернулли.

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad 0!=1

Число способов выбрать k позиций успехов среди n испытаний.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.
Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
Для небольшого числа испытаний выпишите последовательности вручную и сравните их суммарную вероятность с формулой.

Разобранный пример

Честную монету независимо бросают три раза. Найдите вероятность ровно двух орлов.

Простой уровень

Подсказка: Два орла можно расположить на трёх позициях тремя способами.

Условия Бернулли: n=3, p=1/2, k=2.
Подходят ООР, ОРО, РОО — три равновероятные последовательности из восьми.
Вероятность: 3 × (1/2)³ = 3/8.

Ответ: 3/8

Что проверить перед ответом

Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Схема Бернулли».
Не применяйте формулу без проверки её условий: Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.
После вычисления выполните смысловую проверку: Для небольшого числа испытаний выпишите последовательности вручную и сравните их суммарную вероятность с формулой.

Попробуйте самостоятельно

Проводят четыре независимые попытки с вероятностью успеха 0,2 в каждой. Найдите вероятность ровно одного успеха.

Показать подсказку и решение

Выберите одну позицию успеха и учтите три неудачи.

Позицию единственного успеха выбирают 4 способами.
Вероятность каждого такого порядка: 0,2 × 0,8³ = 0,1024.
Сумма четырёх несовместимых вариантов: 4 × 0,1024 = 0,4096.

Ответ: 0,4096

Полная статья и три уровня задач

Вероятность и статистика · конспект

Биномиальное распределение

Число успехов в независимой серии с постоянной вероятностью: точные массы, хвосты и моменты.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

Для целых 0 ≤ k ≤ n; вне носителя вероятность 0.

\mathbb E X=np,\quad \operatorname{Var}(X)=np(1-p)

n независимых одинаково распределённых индикаторов.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.

Разобранный пример

Честную монету бросили 3 раза независимо. Найдите вероятность ровно 2 орлов.

Простой уровень

Подсказка: Выберите два места для орлов из трёх.

Всего 2³ = 8 равновероятных последовательностей.
С двумя орлами их C(3,2) = 3; вероятность 3/8.

Ответ: 3/8

Что проверить перед ответом

Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Биномиальное распределение».
Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.

Попробуйте самостоятельно

X ~ Bin(10,0,2). Найдите D(X).

Показать подсказку и решение

Дисперсия равна np(1 − p).

n = 10, p = 0,2, 1 − p = 0,8.
D(X) = 10 · 0,2 · 0,8 = 1,6.

Ответ: 1,6

Полная статья и три уровня задач

Вероятность и статистика · конспект

Геометрическое распределение

Номер первого успеха, отсутствие памяти и различие двух распространённых соглашений.

Простыми словами

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\quad k=1,2,\ldots

X — номер первого успеха, 0 < p ≤ 1.

P(X>m)=(1-p)^m,\quad F(x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor}\ (x\ge1)

Хвост и CDF для выбранного соглашения.

\mathbb E X=\frac1p,\quad \operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}

Моменты числа попыток.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.

Разобранный пример

Первый успех ищут при p = 0,4. Какова P(X = 1)? X — номер попытки.

Простой уровень

Подсказка: На первой попытке ещё не нужно никаких неудач.

Событие X = 1 означает успех сразу.
Его вероятность равна p = 0,4.

Ответ: 0,4

Что проверить перед ответом

Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Геометрическое распределение».
Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.

Попробуйте самостоятельно

При p = 0,5 найдите P(X > 3).

Показать подсказку и решение

Требуются три первые неудачи.

Неудача одной попытки имеет вероятность 0,5.
По независимости P(X > 3) = 0,5³ = 1/8.

Ответ: 1/8

Полная статья и три уровня задач

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · МаршрутВероятность и статистика · 10 класс Шаг 2 · УрокУсловная вероятность Шаг 3 · УрокФормула полной вероятности Шаг 4 · УрокСхема Бернулли Шаг 5 · УрокБиномиальное распределение Шаг 6 · УрокГеометрическое распределение

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.

ФРП СОО «Математика», базовый уровень, 10–11 классы