Показательные и логарифмические модели
Показательные и логарифмические модели, производная, интеграл и статистический вывод.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «степени и логарифмы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «уравнения и неравенства», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «функции», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Степени с рациональным показателем и логарифмы
Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.
Равенство logₐb = c означает aᶜ = b; при этом a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм степени позволяет вынести показатель множителем.
Степень a^(m/n) связывает возведение в степень и извлечение корня; для действительной записи с чётным n основание обычно берут неотрицательным. Все условия фиксируют до преобразований.
Логарифм logₐb — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Требуются a > 0, a ≠ 1 и b > 0; эти условия образуют ОДЗ.
Почему это работает. Логарифм отвечает на вопрос о показателе степени. Поэтому произведение внутри логарифма превращается в сумму показателей, а степень — в множитель перед логарифмом. Все преобразования требуют положительного аргумента.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей при одном и том же допустимом основании.
Свойство логарифма произведения.- logₐ b
- степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b
- a
- основание: a > 0 и a ≠ 1
- b
- аргумент: b > 0
- ln x
- логарифм по основанию e
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- проверить область допустимых значений
- привести выражения к одному основанию
- решить полученное уравнение и проверить корни
Разбор по шагам
Два примера
Решите log₂x = 3.
- Перейдём к показательной форме: x = 2³.
- Условие x > 0 выполнено.
Ответ: 8
Решите log₂(x − 1) = 3.
- ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
- Переходим к степени: x − 1 = 2³ = 8.
- x = 9 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 9
Типичные ошибки
- забывать условие положительности аргумента
- раскладывать логарифм суммы как сумму логарифмов
- использовать основание 1
Алгебра · подробный конспект
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.
Равенство logₐb = c означает aᶜ = b; при этом a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм степени позволяет вынести показатель множителем.
В показательном уравнении стремятся привести обе части к одному основанию или вводят замену для повторяющейся степени. Монотонность aˣ зависит от того, больше или меньше единицы основание a.
В логарифмическом уравнении сначала записывают положительность всех аргументов. При переходе от неравенства логарифмов к аргументам знак сохраняется при a > 1 и меняется при 0 < a < 1.
Почему это работает. Логарифм отвечает на вопрос о показателе степени. Поэтому произведение внутри логарифма превращается в сумму показателей, а степень — в множитель перед логарифмом. Все преобразования требуют положительного аргумента.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей при одном и том же допустимом основании.
Свойство логарифма произведения.- logₐ b
- степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b
- a
- основание: a > 0 и a ≠ 1
- b
- аргумент: b > 0
- ln x
- логарифм по основанию e
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- проверить область допустимых значений
- привести выражения к одному основанию
- решить полученное уравнение и проверить корни
Разбор по шагам
Два примера
Решите log₂x = 3.
- Перейдём к показательной форме: x = 2³.
- Условие x > 0 выполнено.
Ответ: 8
Решите log₂(x − 1) = 3.
- ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
- Переходим к степени: x − 1 = 2³ = 8.
- x = 9 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 9
Типичные ошибки
- забывать условие положительности аргумента
- раскладывать логарифм суммы как сумму логарифмов
- использовать основание 1
Алгебра · подробный конспект
Тригонометрические функции
Тригонометрия связывает углы с отношениями сторон и координатами точки на единичной окружности.
На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.
Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.
Графики sin x и cos x периодичны с периодом 2π и принимают значения от −1 до 1; tg x имеет период π и не определён при cos x = 0.
Амплитуда, период и сдвиг читаются из формулы y = A sin(ωx + φ) + b. Контрольные точки одного периода помогают построить весь график повторением.
Почему это работает. На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — ордината. По теореме Пифагора x² + y² = 1, откуда сразу следует основное тождество sin² α + cos² α = 1.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.
Основное тригонометрическое тождество.- sin α
- ордината точки единичной окружности
- cos α
- абсцисса точки единичной окружности
- tg α
- отношение sin α к cos α
- π рад
- развёрнутый угол 180°
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить четверть и знак
- использовать подходящую формулу
- учесть периодичность решений
Разбор по шагам
Два примера
Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.
- sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
- В первой четверти синус положителен.
Ответ: 4/5
Найдите cos α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.
- cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25.
- cos² α = 16/25.
- Для острого угла косинус положителен.
Ответ: 4/5
Типичные ошибки
- терять знак при извлечении корня
- смешивать градусы и радианы
- забывать периодичность
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.