Вероятность и статистика · Распределения

Геометрическое распределение

Номер первого успеха, отсутствие памяти и различие двух распространённых соглашений.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Закон позволяет рассчитывать длительность ожидания первого успеха и отличать её от числа неудач, а также проверять следствие независимости — отсутствие памяти.

Главная идея. Геометрическая величина X считает номер попытки, на которой впервые появился успех: P(X = k) = p(1 − p)^(k − 1). В этой статье носитель начинается с 1, а не с 0.

План рассуждения и проверка понимания

Сначала зафиксируйте соглашение: X — номер успешной попытки, поэтому k = 1,2,…; число предыдущих неудач равно X − 1.
Для первого успеха на k-й попытке умножьте вероятности k − 1 неудач и завершающего успеха: (1 − p)^(k − 1)p.
Для события X > m используйте m первых неудач и хвост (1 − p)^m; событие X ≤ m получите через дополнение.
Проверьте E[X] = 1/p и Var(X) = (1 − p)/p², помня о бесконечном носителе и вырожденном случае p = 1.

Частая ошибка. Смешивать номер первой успешной попытки с количеством неудач до неё и после длинной серии неудач искусственно повышать шанс следующего успеха.

Как проверить себя. В соглашении статьи минимальное X равно 1, тогда как R считает Y = X − 1. При независимых испытаниях условный шанс следующего успеха остаётся p.

Схема к теме

Наглядная модель: Геометрическое распределение

Номер первого успеха, отсутствие памяти и различие двух распространённых соглашений.

Геометрическое распределение → геометрическое
Геометрическое распределение → первый успех
Геометрическое распределение → отсутствие памяти

Схема связывает понятие «Геометрическое распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

При p = 1/4 объясните разницу между событиями «первый успех на третьей попытке» и «успеть за три попытки» и вычислите оба шанса.

В хорошем объяснении есть:

Для точного срока получено (3/4)²·1/4.
Для срока не позже третьего использовано дополнение 1 − (3/4)³.
Отмечено завершение опыта после первого успеха.

Сколько ждать первого успеха

Независимые испытания продолжаются до первого успеха. Вероятность успеха p постоянна и строго положительна. В этом разделе X означает номер успешной попытки, поэтому минимальное значение равно 1.

Есть другое популярное определение: Y — число неудач перед успехом. Тогда Y начинается с нуля и $Y=X-1$ . Официальная документация R использует именно Y. Сравнивая таблицу или программу с этим исследователем, прибавляйте к аргументу единицу, а не меняйте вероятность p.

Закон и отсутствие памяти

Чтобы успех впервые произошёл на k-й попытке, сначала нужны k − 1 неудач, затем успех. Умножение независимых вероятностей даёт $p(1-p)^{k-1}$ . Чтобы ждать больше m попыток, достаточно m первых неудач: вероятность $(1-p)^m$ .

Если уже произошло m неудач, вероятность ждать ещё больше r попыток равна $(1-p)^r$ : прошедшая неудачная история не улучшает шанс следующей попытки. Формально при допустимом условии $P(X>m+r\mid X>m)=P(X>r)$ . Это свойство называют отсутствием памяти. Оно следует из модели независимости, а не из общей природы случайности.

Случай p = 1 вырожден: успех наступает сразу. При p = 0 успех не наступит ни за какое конечное число попыток, поэтому обычного геометрического распределения на положительных целых нет. Исследователь не принимает p = 0.

Три примера

Первый успех на третьей попытке. При p = 1/4 нужны две неудачи и успех. Вероятность равна (3/4)² · 1/4 = 9/64 = 0,140625. Для величины Y, считающей неудачи, это тот же исход Y = 2.
Успеть за три попытки. При p = 1/4 ищем P(X ≤ 3). Дополнение — три неудачи: 1 − (3/4)³ = 37/64 = 0,578125. Здесь суммируются три разные даты первого успеха, а не ровно один успех в серии: после первого успеха эксперимент заканчивается.
Ожидание после пяти неудач. Пусть p = 0,2 и первые пять попыток неудачны. По независимости шанс успеха в одной следующей попытке остаётся 0,2. Вероятность ждать больше двух дополнительных попыток равна 0,8² = 0,64; среднее дополнительное число попыток равно 1/p = 5. Уже потраченные пять попыток не входят в это дополнительное время.

Среднее не является сроком

Среднее число попыток равно 1/p, а дисперсия (1 − p)/p². Например, при p = 0,1 среднее равно 10, но результат может быть значительно больше. У распределения бесконечный носитель: последнего возможного целого значения нет.

График показывает конечное окно и явно указывает вероятность справа от него. Малое p создаёт длинный хвост, поэтому автоматическое окно может ограничиваться 200 целыми точками. Генератор не обрезает результаты по видимой оси.

Проверка предпосылок

Обучение после ошибок, износ оборудования или изменение стратегии делают вероятность успеха зависящей от номера попытки. Тогда геометрический закон может быть плохой моделью. Утверждение «давно не выпадало, значит теперь шанс выше» также несовместимо с независимыми испытаниями с постоянным p. Сначала формулируют механизм опыта, затем выбирают закон.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\quad k=1,2,\ldots

Формула словами: X — номер первого успеха, 0 < p ≤ 1.

P(X>m)=(1-p)^m,\quad F(x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor}\ (x\ge1)

Формула словами: Хвост и CDF для выбранного соглашения.

\mathbb E X=\frac1p,\quad \operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}

Формула словами: Моменты числа попыток.

Исследуйте модель

Параметры модели

Геометрическое

Дискретное

Считается номер первого успеха, начиная с 1. Число неудач до успеха равно X − 1.

P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\quad k\ge1

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [1; +∞].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0,422828 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (19 точек)

x	P(X=x)
1	0,25
2	0,1875
3	0,140625
4	0,105469
5	0,079102
6	0,059326
7	0,044495
8	0,033371
9	0,025028
10	0,018771
11	0,014078
12	0,010559
13	0,007919
14	0,005939
15	0,004454
16	0,003341
17	0,002506
18	0,001879
19	0,001409

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 3): 14,0625 %
P(X ≤ 3): 57,8125 %
P(X > 3): 42,1875 %
P(1 ≤ X ≤ 19): 99,577172 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 4
Дисперсия D(X): 12

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборки

Повторить результат по ключу

Seed — начальное значениеПустое поле — новая случайная серия. Для точного повтора укажите ключ из сохранённых результатов и те же параметры.

Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Хотя бы один успех

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

R stats: Geometric — источник считает неудачи; здесь X = Y + 1 (откроется в новой вкладке)