Умблик
Вероятностные модели
Все распределения
Вероятность и статистика · Распределения

Экспоненциальное распределение

Непрерывное время ожидания, интенсивность, отсутствие памяти и связь с пуассоновским процессом.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Модель помогает переводить интенсивность потока во время ожидания и вычислять дополнительные сроки благодаря свойству отсутствия памяти.

Главная идея. Экспоненциальный закон описывает неотрицательное время до следующего события при постоянной интенсивности λ. Его хвост P(X > x) = exp(−λx), а среднее ожидание равно 1/λ.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Выразите λ в обратных единицах времени и приведите x к согласованной шкале, например часы нельзя напрямую умножать на интенсивность в минуту.
  2. Для ожидания дольше x используйте хвост exp(−λx), а для ожидания не больше x вычтите этот хвост из единицы.
  3. Если уже прошло s без события, сократите условную вероятность и получите P(X > s + t | X > s) = exp(−λt).
  4. Сопоставьте результат с E[X] = 1/λ и Var(X) = 1/λ², не превращая среднее в фиксированный график событий.

Частая ошибка. Подставлять уже прошедшее время второй раз при расчёте дополнительного ожидания или воспринимать f(0) = λ как вероятность мгновенного события.

Как проверить себя. При условии X > s прошлое уже учтено и остаётся хвост exp(−λt). Плотность может быть больше единицы, но вероятность точки X = 0 всё равно равна нулю.

Схема к теме

Наглядная модель: Экспоненциальное распределение

Непрерывное время ожидания, интенсивность, отсутствие памяти и связь с пуассоновским процессом.

Наглядная модель: Экспоненциальное распределениеНепрерывное время ожидания, интенсивность, отсутствие памяти и связь с пуассоновским процессом.экспоненциальноепоказательноевремя ожиданияинтенсивностьЭкспоненциальноераспределение
  • Экспоненциальное распределение → экспоненциальное
  • Экспоненциальное распределение → показательное
  • Экспоненциальное распределение → время ожидания
  • Экспоненциальное распределение → интенсивность
Схема связывает понятие «Экспоненциальное распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

При λ = 2 в час объясните, почему после уже прошедших 40 минут шанс ждать ещё больше получаса равен exp(−1), а не exp(−7/3).

В хорошем объяснении есть:

  • Использовано условие отсутствия памяти.
  • Полчаса переведены в 1/2 часа.
  • Результат отделён от модели расписания автобусов.

Время до следующего события

В однородном пуассоновском потоке с интенсивностью λ время до ближайшего события имеет экспоненциальное распределение. Здесь X непрерывна, неотрицательна, а λ>0\lambda>0 измеряется в обратных единицах времени.

В отличие от раздела Пуассона, λ здесь — интенсивность, а не среднее число событий за уже выбранный интервал. Среднее время ожидания равно 1/λ. Источник NIST записывает тот же закон через масштаб β; для наших обозначений β = 1/λ, сдвиг равен нулю.

Хвост проще плотности

Ждать больше x означает, что за время x не произойдёт ни одного события. Поэтому P(X>x)=e−λxP(X>x)=e^{-\lambda x}, а CDF равна 1 минус этот хвост. Плотность получается производной CDF и убывает от λ к нулю. Значение плотности в нуле не является вероятностью мгновенного события: P(X = 0) = 0.

Отсутствие памяти формулируется для s,t ≥ 0: P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t). После уже прошедшего ожидания закон дополнительного времени такой же, если предпосылки модели не изменились.

Три примера

  1. Среднее ожидание. Интенсивность равна 2 события в час. Среднее время равно 1/2 часа = 30 минут. Это не обещание события каждые 30 минут: интервалы случайны и имеют неограниченный правый хвост.

  2. Ожидать меньше часа. При λ = 2 в час шанс X ≤ 1 час равен 1 − exp(−2) ≈ 0,864665. Медиана ln(2)/2 ≈ 0,346574 часа, около 20,79 минуты. Она меньше среднего из-за правой асимметрии.

  3. Дополнительные полчаса. При той же λ уже ждут 40 минут. Вероятность ждать ещё более 30 минут равна exp(−2 · 1/2) = exp(−1) ≈ 0,367879. Время 40 минут не входит в экспоненту: оно уже содержится в условии. Это вывод модели отсутствия памяти, не правило для очереди с расписанием.

Когда отсутствие памяти неправдоподобно

Для стареющего устройства риск поломки может увеличиваться с возрастом. Для автобуса, строго следующего расписанию, уже прошедшее время влияет на оставшееся. Такие механизмы не соответствуют постоянной интенсивности; нужны другие модели, даже если наблюдаемая величина положительна.

Плотность может быть больше 1 при больших λ. Например, λ = 5 даёт высоту 5 у нуля, но интеграл по всей полуоси по-прежнему равен единице. Единицы плотности — обратные единицы X, поэтому сама её числовая высота меняется при переводе часов в минуты.

Исследование

Поменяйте λ с 1 на 2: характерное время и стандартное отклонение уменьшатся вдвое, дисперсия — в четыре раза. Создайте несколько выборок с разными seed и сравните среднее с медианой визуально по CDF. Для точной вероятности интервала инструмент вычитает хвосты устойчиво; даже если график обрезан, генератор допускает редкие очень длинные ожидания.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)=λe−λx,F(x)=1−e−λx(x≥0)f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad F(x)=1-e^{-\lambda x}\quad(x\ge0)

Формула словами: Параметр λ > 0 — интенсивность; слева от 0 плотность и CDF равны 0.

P(X>x)=e−λx,EX=1λ,D(X)=1λ2P(X>x)=e^{-\lambda x},\quad \mathbb E X=\frac1\lambda,\quad D(X)=\frac1{\lambda^2}

Формула словами: Масштаб времени — 1/λ.

Исследуйте модель

Параметры модели

Экспоненциальное

Непрерывное

λ — интенсивность, а не среднее. Среднее время ожидания равно 1/λ.

f(x)=λe−λx,x≥0f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: [0; +∞].

Форма распределения

Экспоненциальное: плотность f(x). Окно от 0 до 5,298317. Числовая таблица расположена ниже.00,280,560,841,1201,3245792,6491593,9737385,298317f(x) · плотностьx · значение

Высота кривой — плотность, не вероятность точки. Вероятность интервала равна площади под кривой; плотность может быть больше 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0,5 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (241 точек)
xf(x)
01
0,0220760,978166
0,0441530,956808
0,0662290,935917
0,0883050,915481
0,1103820,895492
0,1324580,87594
0,1545340,856814
0,1766110,838106
0,1986870,819807
0,2207630,801907
0,242840,784397
0,2649160,76727
0,2869920,750518
0,3090690,73413
0,3311450,718101
0,3532210,702422
0,3752970,687085
0,3973740,672083
0,419450,657408
0,4415260,643054
0,4636030,629013
0,4856790,615279
0,5077550,601845
0,5298320,588704
0,5519080,57585
0,5739840,563277
0,5960610,550978
0,6181370,538948
0,6402130,52718
0,662290,515669
0,6843660,50441
0,7064420,493396
0,7285190,482623
0,7505950,472086
0,7726710,461778
0,7947480,451695
0,8168240,441833
0,83890,432186
0,8609770,422749
0,8830530,413519
0,9051290,40449
0,9272060,395658
0,9492820,387019
0,9713580,378569
0,9934350,370303
1,0155110,362217
1,0375870,354309
1,0596630,346572
1,081740,339005
1,1038160,331603
1,1258920,324363
1,1479690,317281
1,1700450,310353
1,1921210,303577
1,2141980,296948
1,2362740,290464
1,258350,284122
1,2804270,277919
1,3025030,27185
1,3245790,265915
1,3466560,260109
1,3687320,254429
1,3908080,248874
1,4128850,24344
1,4349610,238125
1,4570370,232925
1,4791140,22784
1,501190,222865
1,5232660,217999
1,5453430,213239
1,5674190,208583
1,5894950,204029
1,6115720,199574
1,6336480,195216
1,6557240,190954
1,67780,186784
1,6998770,182706
1,7219530,178717
1,7440290,174815
1,7661060,170998
1,7881820,167264
1,8102580,163612
1,8323350,160039
1,8544110,156545
1,8764870,153127
1,8985640,149784
1,920640,146513
1,9427160,143314
1,9647930,140185
1,9868690,137124
2,0089450,13413
2,0310220,131201
2,0530980,128337
2,0751740,125535
2,0972510,122794
2,1193270,120112
2,1414030,11749
2,163480,114925
2,1855560,112415
2,2076320,109961
2,2297090,10756
2,2517850,105211
2,2738610,102914
2,2959380,100667
2,3180140,098469
2,340090,096319
2,3621660,094216
2,3842430,092159
2,4063190,090147
2,4283950,088178
2,4504720,086253
2,4725480,08437
2,4946240,082527
2,5167010,080726
2,5387770,078963
2,5608530,077239
2,582930,075552
2,6050060,073903
2,6270820,072289
2,6491590,070711
2,6712350,069167
2,6933110,067657
2,7153880,066179
2,7374640,064734
2,759540,063321
2,7816170,061938
2,8036930,060586
2,8257690,059263
2,8478460,057969
2,8699220,056703
2,8919980,055465
2,9140750,054254
2,9361510,05307
2,9582270,051911
2,9803040,050777
3,002380,049669
3,0244560,048584
3,0465320,047523
3,0686090,046486
3,0906850,045471
3,1127610,044478
3,1348380,043507
3,1569140,042557
3,178990,041628
3,2010670,040719
3,2231430,03983
3,2452190,03896
3,2672960,038109
3,2893720,037277
3,3114480,036463
3,3335250,035667
3,3556010,034888
3,3776770,034127
3,3997540,033381
3,421830,032653
3,4439060,03194
3,4659830,031242
3,4880590,03056
3,5101350,029893
3,5322120,02924
3,5542880,028602
3,5763640,027977
3,5984410,027366
3,6205170,026769
3,6425930,026184
3,664670,025613
3,6867460,025053
3,7088220,024506
3,7308980,023971
3,7529750,023448
3,7750510,022936
3,7971270,022435
3,8192040,021945
3,841280,021466
3,8633560,020997
3,8854330,020539
3,9075090,02009
3,9295850,019652
3,9516620,019223
3,9737380,018803
3,9958140,018392
4,0178910,017991
4,0399670,017598
4,0620430,017214
4,084120,016838
4,1061960,01647
4,1282720,016111
4,1503490,015759
4,1724250,015415
4,1945010,015078
4,2165780,014749
4,2386540,014427
4,260730,014112
4,2828070,013804
4,3048830,013502
4,3269590,013208
4,3490360,012919
4,3711120,012637
4,3931880,012361
4,4152640,012091
4,4373410,011827
4,4594170,011569
4,4814930,011317
4,503570,011069
4,5256460,010828
4,5477220,010591
4,5697990,01036
4,5918750,010134
4,6139510,009913
4,6360280,009696
4,6581040,009484
4,680180,009277
4,7022570,009075
4,7243330,008877
4,7464090,008683
4,7684860,008493
4,7905620,008308
4,8126380,008126
4,8347150,007949
4,8567910,007775
4,8788670,007606
4,9009440,00744
4,923020,007277
4,9450960,007118
4,9671730,006963
4,9892490,006811
5,0113250,006662
5,0334010,006517
5,0554780,006374
5,0775540,006235
5,099630,006099
5,1217070,005966
5,1437830,005836
5,1658590,005708
5,1879360,005584
5,2100120,005462
5,2320880,005342
5,2541650,005226
5,2762410,005112
5,2983170,005

Точка и интервал

P(X = 0,693147)
0 %
Плотность f(0,693147)
0,5
P(X ≤ 0,693147)
50 %
P(X > 0,693147)
50 %
P(0 ≤ X ≤ 5,298317)
99,5 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X)
1
Дисперсия D(X)
1

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Повторить результат по ключу
Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.