Вероятность и статистика · Распределения

Распределение Пуассона

Число событий в фиксированном интервале: параметр среднего, редкие события и связь с интенсивностью.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Оно связывает интенсивность r и длину t через λ = rt, позволяет считать редкие количества и служит приближением биномиального закона при больших n и малых p.

Главная идея. Распределение Пуассона описывает число событий на фиксированном интервале, если модель имеет постоянную интенсивность и независимые приращения. Параметр λ — среднее за весь выбранный интервал.

План рассуждения и проверка понимания

Определите единицу наблюдения и вычислите λ = rt; не подставляйте часовую интенсивность как параметр двадцатиминутного интервала.
Для ровно k событий используйте exp(−λ)λ^k/k!, а соседние массы при необходимости получайте рекурсией P(k + 1) = P(k)λ/(k + 1).
Для «не больше k» сложите массы от нуля до k включительно, а правый хвост P(X > k) вычислите как дополнение этой суммы.
Сопоставьте результат с E[X] = Var(X) = λ и проверьте, не показывают ли данные сильную неоднородность или зависимое скопление событий.

Частая ошибка. Путать интенсивность событий в единицу времени с параметром λ за весь интервал или считать равенство выборочного среднего и дисперсии обязательным.

Как проверить себя. Для интервала длины t параметр равен rt. Равенство E[X] и Var(X) относится к теоретической модели, а их выборочные оценки в конечных данных случайно различаются.

Схема к теме

Наглядная модель: Распределение Пуассона

Число событий в фиксированном интервале: параметр среднего, редкие события и связь с интенсивностью.

Распределение Пуассона → Пуассон
Распределение Пуассона → редкие события
Распределение Пуассона → счётчик
Распределение Пуассона → интенсивность

Схема связывает понятие «Распределение Пуассона» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

При интенсивности три события в час вычислите параметр за двадцать минут и объясните вероятность хотя бы одного события через нулевую массу.

В хорошем объяснении есть:

Двадцать минут переведены в 1/3 часа.
Для этого интервала получено λ = 1.
Использовано дополнение 1 − exp(−1).

Счётчик событий

Распределение Пуассона описывает неотрицательное целое число событий за фиксированный интервал времени, длины или площади. Примеры моделей — число запросов за минуту или число точечных дефектов на участке. Само слово «редкие» ещё не доказывает применимость закона.

Параметр $\lambda\ge0$ равен среднему числу событий за рассматриваемый интервал. Если интенсивность потока r событий в единицу времени постоянна, для интервала длины t используем $\lambda=rt$ . В исследователе вводится уже произведение rt, а не r отдельно.

Когда возникает закон

Для однородного пуассоновского процесса предполагают независимость непересекающихся приращений, постоянную интенсивность и пренебрежимо малый шанс нескольких событий за очень короткий интервал. Тогда счётчик за время t имеет закон Pois(rt).

Есть и предельный путь: биномиальный закон Bin(n,p) при больших n, малых p и фиксированном np приближается к Pois(np). Для конкретной задачи качество приближения нужно оценивать; конечная биномиальная модель и пуассоновская аппроксимация не тождественны.

Массы, хвосты и характеристики

Масса нулевого значения равна $e^{-\lambda}$ . Следующие массы удобно получать рекурсией $P(X=k+1)=P(X=k)\lambda/(k+1)$ . Среднее и дисперсия равны λ, стандартное отклонение — корень из λ.

При λ = 0 счётчик всегда ноль. При λ > 0 максимального возможного результата нет, хотя большие значения имеют очень малые вероятности. CDF суммирует массы до заданного целого включительно; правый хвост P(X > k) не включает точку k.

Три примера

Ни одного запроса. По модели среднее число запросов за минуту равно 2. Для одной минуты λ = 2, поэтому P(X = 0) = exp(−2) ≈ 0,135335. Равенство среднего двум не делает два запроса обязательными.
Ровно три события. При λ = 2 вероятность P(X = 3) = exp(−2) · 2³/3! = (4/3)exp(−2) ≈ 0,180447. Для «не больше трёх» нужно добавить массы 0, 1, 2: получится (1 + 2 + 2 + 4/3)exp(−2) ≈ 0,857123.
Изменили длину интервала. Поток имеет интенсивность 3 события в час. За 20 минут t = 1/3 часа, так что λ = 1. Вероятность хотя бы одного события равна 1 − exp(−1) ≈ 0,632121. Подстановка λ = 3 означала бы другой интервал — целый час.

Диагностика предположений

Сильное скопление событий, общие причины или меняющаяся в течение дня интенсивность могут нарушать простую пуассоновскую модель. Если наблюдаемая дисперсия заметно больше среднего, это повод исследовать неоднородность или зависимость, но не автоматическое доказательство конкретной альтернативы.

В генераторе задайте λ = 4 и сравните выборочное среднее с дисперсией. Их точного равенства в конечной выборке не будет. При малом λ заметна масса в нуле; при большом форма становится более симметричной. Обрезанный правый хвост подписан отдельно, а выборка всегда генерируется по полному закону.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,\ldots

Формула словами: λ ≥ 0 — ожидаемое число событий за весь интервал.

\mathbb E X=\operatorname{Var}(X)=\lambda

Формула словами: Равенство среднего и дисперсии — особенность пуассоновского закона.

Исследуйте модель

Параметры модели

Пуассона

Дискретное

λ — ожидаемое число событий за весь рассматриваемый интервал. При λ = 0 всегда X = 0.

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; +∞].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0,283977 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (11 точек)

x	P(X=x)
0	0,018316
1	0,073263
2	0,146525
3	0,195367
4	0,195367
5	0,156293
6	0,104196
7	0,05954
8	0,02977
9	0,013231
10	0,005292

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 4): 19,536681 %
P(X ≤ 4): 62,883694 %
P(X > 4): 37,116306 %
P(0 ≤ X ≤ 10): 99,716023 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 4
Дисперсия D(X): 4

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборки

Повторить результат по ключу

Seed — начальное значениеПустое поле — новая случайная серия. Для точного повтора укажите ключ из сохранённых результатов и те же параметры.

Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Процесс Пуассона Формула Бернулли Вероятности Пуассона

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

NIST: Poisson Distribution (откроется в новой вкладке)