Геометрия и данные
Знакомимся с прямыми углами, вычисляем периметр и используем таблицы для упорядоченного перебора.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- различать прямую, луч, отрезок и прямой угол
- находить периметр многоугольника
- читать таблицы и выполнять полный перебор вариантов
прямая и прямой угол
Прямые линии и прямые углы
Прямая не имеет ни начала, ни конца, луч имеет начало, а отрезок — два конца. Прямой угол можно сравнить с углом листа бумаги или проверить угольником. Поворот на четверть полного оборота образует прямой угол.
Прямой угол совпадает с прямым углом угольника или прямоугольного листа и образует четверть полного оборота.
Разбираемся глубже
Прямая не имеет концов, а угол имеет вершину
Прямую мысленно продолжают бесконечно в обе стороны, тогда как отрезок ограничен двумя точками. Угол образуют два луча с общим началом — вершиной, поэтому его размер не зависит от длины нарисованных лучей.
Прямой угол можно проверять шаблоном, но стороны угла должны точно совпасть с краями шаблона. Если одна сторона отклоняется внутрь, угол острый; если наружу — тупой.
В прямоугольнике четыре прямых угла, поэтому его угол может служить переносным эталоном. Положение фигуры не влияет на вид угла: повёрнутый прямой угол остаётся прямым.
Алгоритм
Как действовать
- определить число концов у изображённой линии
- для угла совместить вершину и одну сторону с угольником
- сравнить вторую сторону с краем прямого угла
- назвать линию или вид угла
Разбор
Примеры по шагам
У линии отмечены две конечные точки A и B. Как называется эта линия?
- Линия ограничена с обеих сторон.
- Часть прямой между двумя точками называется отрезком.
Ответ: отрезок AB
Угол точно совпал с углом прямоугольного листа. Какой это угол?
- Угол листа служит моделью прямого угла.
- Обе стороны проверяемого угла совпали с краями модели.
Ответ: прямой угол
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Нарисуйте прямой угол, обозначьте его вершину O и точки A, B на сторонах.
Подсказка: Используйте угол прямоугольного листа как шаблон и подпишите общий конец лучей.
Ответ и самопроверка: Получается угол AOB с вершиной O; его стороны OA и OB образуют прямой угол.
Задание 1.2: Объясните, как проверить угол тетрадным листом, если рисунок повёрнут боком.
Подсказка: Совместите вершины и одну сторону; поворот всего шаблона не меняет прямой угол.
Ответ и самопроверка: Нужно повернуть лист, совместить его угол с вершиной и проверить совпадение обеих сторон.
Типичные ошибки
- называть любой аккуратно нарисованный угол прямым без проверки
- считать, что у прямой есть два конца
- прикладывать угольник не к вершине угла
многоугольники и периметр
Длина границы фигуры
Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника. Обходить стороны лучше по порядку, чтобы ни одну не пропустить и не посчитать дважды. У прямоугольника противоположные стороны равны.
Чтобы найти периметр многоугольника, складывают длины всех его сторон в одинаковых единицах.
Разбираемся глубже
Периметр измеряет путь по границе
Если мысленно обойти фигуру по краю и вернуться в начальную точку, длина всего пути будет периметром. Поэтому необходимо учесть каждую сторону ровно один раз, включая стороны одинаковой длины.
У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому сумму a + b можно удвоить. Формула 2 · (a + b) сокращает запись, но означает то же самое, что a + b + a + b.
Один и тот же периметр можно получить у фигур разной формы. Периметр сообщает общую длину границы, но не определяет отдельно каждую сторону и не показывает площадь внутри.
Алгоритм
Как действовать
- подписать длину каждой стороны
- привести длины к одной единице
- обойти фигуру по границе и сложить все стороны
- записать ответ в единицах длины
Разбор
Примеры по шагам
Найдите периметр треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
- Складываем длины всех трёх сторон.
- 4 + 5 + 6 = 15.
Ответ: 15 см
Найдите периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см.
- У прямоугольника две стороны по 7 см и две по 3 см.
- 7 + 3 + 7 + 3 = 20.
Ответ: 20 см
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: Найдите периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см двумя способами.
Подсказка: Сложите четыре стороны, затем проверьте формулой с удвоением.
Ответ и самопроверка: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см; 2 · (8 + 5) = 26 см.
Задание 2.2: Сторона квадрата равна 6 см. Найдите его периметр сложением и умножением.
Подсказка: У квадрата четыре равные стороны.
Ответ и самопроверка: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 см; то же самое 6 · 4 = 24 см.
Типичные ошибки
- складывать только две стороны прямоугольника
- записывать периметр в квадратных сантиметрах
- смешивать сантиметры и дециметры без преобразования
таблицы и перебор
Таблица всех вариантов
Таблица помогает не потерять данные и перечислить все возможные пары. При полном переборе варианты рассматривают в установленном порядке и отмечают уже найденные, чтобы избежать пропусков и повторов.
Для перебора пар один элемент первой группы последовательно соединяют с каждым элементом второй группы, затем переходят к следующему.
Разбираемся глубже
Таблица не даёт пропустить вариант
При переборе строка может обозначать выбор из первой группы, а столбец — выбор из второй. Каждая заполненная ячейка соответствует одной паре, поэтому варианты не повторяются и не теряются.
После заполнения полезно проверить число вариантов: если в первой группе 3 элемента, а во второй 2, в каждой из трёх строк будет по две пары, всего 3 · 2 = 6.
Порядок перечисления можно выбрать заранее — по строкам или по столбцам. Главное не менять его в середине работы: последовательный обход гарантирует, что каждая клетка будет учтена один раз.
Алгоритм
Как действовать
- выписать элементы первой группы по строкам
- выписать элементы второй группы по столбцам
- заполнить каждую клетку сочетанием строки и столбца
- пересчитать заполненные клетки и проверить повторы
Разбор
Примеры по шагам
Есть две футболки — белая и синяя — и трое брюк — чёрные, серые и зелёные. Сколько комплектов можно составить?
- С белой футболкой получаются 3 комплекта.
- С синей футболкой получаются ещё 3 комплекта.
- Всего 3 + 3 = 6.
Ответ: 6 комплектов
В таблице продаж: ручки — 12, карандаши — 18, ластики — 9. На сколько больше продали карандашей, чем ластиков?
- Находим нужные строки: 18 карандашей и 9 ластиков.
- Вычитаем: 18 − 9 = 9.
Ответ: на 9 предметов
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Сколько комплектов можно составить из трёх футболок и двух пар шорт? Постройте таблицу пар.
Подсказка: Для каждой футболки перечислите обе возможные пары шорт.
Ответ и самопроверка: Для каждой из 3 футболок есть 2 выбора, поэтому 3 · 2 = 6 комплектов.
Задание 3.2: Есть две шапки и три шарфа. Перечислите пары и найдите число комплектов.
Подсказка: Для каждой шапки соедините по очереди все три шарфа.
Ответ и самопроверка: У каждой из 2 шапок по 3 варианта шарфа: 2 · 3 = 6 комплектов.
Типичные ошибки
- пропускать сочетание при бессистемном перечислении
- дважды записывать одну и ту же пару
- читать значение не из той строки таблицы
Словарь
Опорные понятия
- прямой угол
- угол, совпадающий с углом прямоугольного листа или угольника
- периметр
- сумма длин всех сторон многоугольника
- перебор
- последовательное рассмотрение всех вариантов
- строка таблицы
- горизонтальный ряд клеток таблицы
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.