Задачи в одно и два действия
Учимся кратко записывать данные, находить промежуточный результат и проверять решение разными способами.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- составлять краткую запись задачи без потери смысла
- связывать прямую и обратную задачи
- проверять вычисления и соответствие ответа условию
краткая запись
Оставляем в записи главное
Краткая запись показывает величины, числа и связи между ними, но не переписывает весь текст. Для неё подходят слова-подсказки, таблица или схема. Одинаковые величины записывают в одной колонке.
В краткой записи должны быть все числовые данные, их наименования и знак вопроса у неизвестной величины.
Разбираемся глубже
Краткая запись как карта зависимостей
Краткая запись не копирует текст, а показывает участников, величины и изменение ситуации. Слова заменяют короткими подписями, однако сохраняют единицы измерения и смысл каждого числа.
Для задачи в два действия запись должна показать промежуточную величину. Если после ухода пассажиров кто-то вошёл, сначала находится остаток, а затем к нему прибавляется новая группа.
Порядок строк краткой записи удобно согласовывать со временем или этапами события. Так становится видно, какое число относится к начальному состоянию, изменению и окончательному результату.
Алгоритм
Как действовать
- назвать действующих лиц или величины
- выписать рядом соответствующие числа и единицы
- обозначить неизвестное знаком вопроса
- проверить, что по записи можно восстановить связь из условия
Разбор
Примеры по шагам
У Ани 8 открыток, а у Кати на 3 открытки больше. Сколько открыток у Кати?
- Краткая запись: Аня — 8 открыток; Катя — ?, на 3 больше.
- Слово «больше» показывает сложение: 8 + 3 = 11.
Ответ: 11 открыток
В автобусе было 20 пассажиров, 6 вышли и 4 вошли. Сколько стало?
- Записываем: было — 20, вышли — 6, вошли — 4, стало — ?.
- После выхода осталось 20 − 6 = 14.
- После входа стало 14 + 4 = 18.
Ответ: 18 пассажиров
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Составьте краткую запись и решите: было 28 книг, 9 выдали, затем вернули 4.
Подсказка: Покажите три состояния: было, выдали, вернули; действия выполняйте по времени.
Ответ и самопроверка: Было 28, выдали 9, вернули 4; 28 − 9 + 4 = 23 книги.
Задание 1.2: В автобусе было 35 пассажиров, 8 вышли и 6 вошли. Запишите план и найдите итог.
Подсказка: События происходят по порядку: сначала уменьшение, затем увеличение.
Ответ и самопроверка: 35 − 8 = 27; 27 + 6 = 33 пассажира.
Типичные ошибки
- переписывать весь рассказ вместо краткой структуры
- терять единицы измерения
- не указывать, к какой величине относится число
обратные задачи
Меняем известное и неизвестное местами
В обратной задаче сохраняют ту же ситуацию и числа, но известная раньше величина становится неизвестной. Прямая и обратная задачи помогают увидеть связь сложения с вычитанием или умножения с делением.
Чтобы составить обратную задачу, результат исходной задачи делают данным, а одно из прежних данных — вопросом.
Разбираемся глубже
Одна связь — несколько задач
Равенство 8 + 5 = 13 связывает две части и целое. По нему можно составить задачу на нахождение суммы и две обратные задачи на нахождение каждого неизвестного слагаемого.
Обратная задача проверяет исходное решение: найденный ранее ответ становится известным, а восстановленное число должно совпасть с одним из исходных данных. Условия двух задач при этом не должны противоречить друг другу.
Для одного сюжета можно получить целое семейство взаимно обратных задач. Рисунок «часть — часть — целое» остаётся тем же, меняется только место знака вопроса и соответствующее действие.
Алгоритм
Как действовать
- решить исходную задачу и назвать все три связанные величины
- выбрать прежнее данное, которое станет неизвестным
- составить новый вопрос, сохраняя смысл ситуации
- решить обратную задачу и получить исходное число
Разбор
Примеры по шагам
В коробке было 9 карандашей, положили ещё 4, стало 13. Составьте обратную задачу о добавленных карандашах.
- Теперь известны начальное количество 9 и итог 13.
- Спрашиваем, сколько карандашей положили.
- 13 − 9 = 4.
Ответ: положили 4 карандаша
Из 15 книг 6 выдали, осталось 9. Как найти, сколько книг было сначала, если известны 6 и 9?
- Выданные и оставшиеся книги вместе составляют начальное количество.
- 6 + 9 = 15.
Ответ: 15 книг
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: К задаче «Было 18 мячей, 7 взяли, осталось 11» составьте обратную задачу о начальном количестве.
Подсказка: Сделайте известными взятую и оставшуюся части, а первоначальное целое — вопросом.
Ответ и самопроверка: Взяли 7 мячей, осталось 11. Сколько было? 7 + 11 = 18 мячей.
Задание 2.2: Из равенства 13 + 9 = 22 составьте обратную задачу на нахождение второго слагаемого.
Подсказка: Сумму 22 и первое слагаемое 13 сделайте известными, а вторую часть — вопросом.
Ответ и самопроверка: Было 22 предмета, 13 относятся к первой группе. Во второй 22 − 13 = 9 предметов.
Типичные ошибки
- менять все числа и получать другую ситуацию
- оставлять вопрос тем же, что и в исходной задаче
- считать задачу обратной только потому, что в ней другое имя
проверка решения
Как убедиться, что ответ верный
Проверка состоит не только в повторном вычислении. Нужно ещё перечитать вопрос, оценить разумность числа, проверить единицу и при возможности выполнить обратное действие или решить другим способом.
Верный ответ должен удовлетворять условию, иметь подходящую единицу и подтверждаться обратным действием либо повторным рассуждением.
Разбираемся глубже
Три уровня проверки
Сначала оценивают смысл: после уменьшения ответ не может стать больше исходного количества. Затем проверяют вычисление обратным действием и только после этого сверяют единицу и формулировку ответа.
Приближённая оценка помогает заметить грубую ошибку ещё до точного пересчёта. Если из 50 вычитают небольшое число, результат должен быть немного меньше 50, а не равен 80 или 5.
Независимая проверка надёжнее простого повторения тех же действий. Можно применить обратное действие, решить задачу по другой модели или подставить ответ в исходное условие.
Алгоритм
Как действовать
- сравнить найденный ответ с вопросом задачи
- оценить, может ли результат быть таким по смыслу
- проверить вычисление обратным действием
- подставить результат в исходную ситуацию
Разбор
Примеры по шагам
Ученик решил: 34 − 18 = 16. Проверьте ответ.
- К разности прибавляем вычитаемое: 16 + 18.
- 16 + 18 = 34, получили уменьшаемое.
- Значит, вычисление верно.
Ответ: решение верно
В классе 24 ученика. Ученик получил ответ 31 ученик после того, как 5 ушли. Верен ли ответ?
- После ухода число учеников должно уменьшиться, а не увеличиться.
- Правильное действие: 24 − 5 = 19.
Ответ: нет, должно остаться 19 учеников
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Проверьте ответ ученика: из 42 страниц он прочитал 8 и написал, что осталось 50 страниц.
Подсказка: Сначала оцените направление изменения, затем выполните нужное действие.
Ответ и самопроверка: Ответ неверен: после чтения страниц меньше; 42 − 8 = 34 страницы.
Задание 3.2: Ученик получил 65 для суммы 27 + 48. Проверьте оценкой и точным вычислением.
Подсказка: Округлите слагаемые до десятков, затем сложите единицы и десятки точно.
Ответ и самопроверка: Оценка 30 + 50 = 80; точно 27 + 48 = 75, поэтому ответ 65 неверен.
Типичные ошибки
- повторять то же неверное вычисление вместо независимой проверки
- не замечать ответа, невозможного по смыслу
- проверять только число и забывать вопрос и единицу
Словарь
Опорные понятия
- краткая запись
- сжатое представление данных и связей задачи
- обратная задача
- задача с той же связью, где известное и неизвестное поменяны местами
- промежуточный результат
- величина, найденная на пути к главному ответу
- проверка
- способ убедиться в правильности решения
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.