Числа и величины
Осваиваем сотни, новые единицы измерения и учимся находить долю величины.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- читать, записывать и сравнивать числа до 1000
- пользоваться единицами площади и времени
- находить долю величины и величину по известной доле
нумерация до 1000
Сотни, десятки и единицы
Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц. Например, 506 — это пять сотен, ноль десятков и шесть единиц. Ноль внутри записи удерживает пустой разряд, поэтому его нельзя просто убрать.
Число abc равно a · 100 + b · 10 + c; сравнение трёхзначных чисел начинают с разряда сотен.
Разбираемся глубже
Ноль удерживает место разряда
В числе 507 нет десятков, но ноль нужен, чтобы цифра 5 оставалась в разряде сотен, а 7 — в разряде единиц. Запись 57 обозначает уже другое число: пять десятков и семь единиц.
При сравнении сначала ищут самый старший разряд, в котором цифры отличаются. Все младшие разряды после него уже не могут изменить результат, поэтому 680 > 608 из-за десятков.
Тысяча образуется из десяти сотен и является следующим разрядным числом после 900. Переход 999 + 1 меняет единицы, десятки и сотни на нули и создаёт одну тысячу.
Алгоритм
Как действовать
- назвать цифру сотен, десятков и единиц
- записать число как сумму разрядных слагаемых
- при сравнении сначала сопоставить сотни, затем десятки и единицы
- проверить, что нули в пустых разрядах сохранены
Разбор
Примеры по шагам
Запишите число, в котором 7 сотен, 2 десятка и 4 единицы.
- Семь сотен — 700, два десятка — 20, четыре единицы — 4.
- 700 + 20 + 4 = 724.
Ответ: 724
Сравните 608 и 680.
- Сотен поровну: по 6.
- Сравниваем десятки: в 608 ноль десятков, в 680 — восемь.
- Поэтому 608 меньше 680.
Ответ: 608 < 680
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Разложите 704 на разрядные слагаемые и сравните это число с 740.
Подсказка: Сотни равны, поэтому сравните цифры в разряде десятков.
Ответ и самопроверка: 704 = 700 + 4; в 740 четыре десятка, поэтому 704 < 740.
Задание 1.2: Объясните разрядный переход 999 + 1 и запишите результат словами.
Подсказка: Десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу.
Ответ и самопроверка: 999 + 1 = 1 000; словами — одна тысяча.
Типичные ошибки
- убирать ноль из числа 506 и получать 56
- начинать сравнение с единиц вместо сотен
- считать, что 10 сотен — отдельное трёхзначное число, а не 1000
единицы площади и времени
Квадратные единицы и календарное время
Площадь показывает, сколько единичных квадратов занимает фигура, поэтому её измеряют в квадратных сантиметрах или квадратных дециметрах. Для времени используют секунды, минуты, часы, сутки, недели, месяцы и годы; соотношения между ними неодинаковы.
1 дм² = 100 см²; 1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин, 1 сутки = 24 ч, 1 неделя = 7 суток.
Разбираемся глубже
Почему квадратные единицы переводятся иначе
Квадратный дециметр — квадрат со стороной 10 см. В каждом ряду помещается 10 квадратов площадью 1 см² и таких рядов тоже 10, поэтому 1 дм² содержит 10 · 10 = 100 см².
В задачах на время удобно отмечать начало и конец на временной линии. Часы и минуты переводят отдельно с учётом того, что после 59 минут наступает новый час, а не сотая минута.
Площадь складывается из площадей неперекрывающихся частей, а длительность — из последовательных промежутков времени. Разбиение сложной величины на удобные части упрощает вычисление и проверку.
Алгоритм
Как действовать
- определить вид величины и нужную единицу
- вспомнить точное соотношение единиц
- умножить при переходе к меньшим единицам или разделить при переходе к большим
- записать результат с правильным обозначением
Разбор
Примеры по шагам
Квадрат со стороной 1 дм разбит на квадраты со стороной 1 см. Сколько маленьких квадратов получилось?
- По каждой стороне помещается 10 сантиметровых квадратов.
- Всего 10 · 10 = 100 квадратов.
Ответ: 100 квадратов, то есть 100 см²
Фильм начался в 14:25 и длился 1 час 20 минут. Когда он закончился?
- Прибавляем час: получаем 15:25.
- Прибавляем 20 минут: получаем 15:45.
Ответ: в 15:45
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: Выразите 3 дм² в квадратных сантиметрах и объясните множитель перевода.
Подсказка: В одном квадратном дециметре сто квадратных сантиметров.
Ответ и самопроверка: 3 · 100 = 300 см², потому что каждая из трёх площадей по 1 дм² содержит 100 см².
Задание 2.2: Сколько длилось занятие с 13:40 до 15:05? Разбейте время на удобные промежутки.
Подсказка: Сначала дойдите до 14:00, затем до 15:00 и добавьте последние минуты.
Ответ и самопроверка: 20 мин + 60 мин + 5 мин = 85 минут, то есть 1 час 25 минут.
Типичные ошибки
- считать, что 1 дм² равен 10 см²
- принимать 1 час за 100 минут
- записывать площадь в сантиметрах без квадрата
доли величины
Равные части целого
Доля получается, когда целое делят на несколько равных частей. Половина — одна из двух равных частей, треть — одна из трёх, четверть — одна из четырёх. Чем на большее число равных частей делят одно и то же целое, тем меньше каждая часть.
Чтобы найти одну n-ю долю величины, величину делят на n; чтобы восстановить целое по одной доле, долю умножают на n.
Разбираемся глубже
Знаменатель задаёт размер равных частей
Доля имеет смысл только после указания целого и равенства частей. Одна четвёртая шоколадки — одна из четырёх одинаковых частей; если куски разного размера, назвать каждый четвертью нельзя.
Несколько долей находят в два шага: сначала делением получают одну долю, затем умножением — нужное число таких долей. Обратный путь восстанавливает целое по известной одной доле.
Сравнивать доли можно только с учётом одного и того же целого. Половина большой ленты может быть длиннее целой короткой ленты, поэтому рисунок и подпись целого важны для понимания.
Алгоритм
Как действовать
- убедиться, что речь идёт о равных частях
- определить знаменатель доли — число частей
- разделить целую величину на это число
- проверить умножением найденной доли на число частей
Разбор
Примеры по шагам
Найдите одну четверть от 20 яблок.
- Четверть означает одну из четырёх равных частей.
- 20 : 4 = 5.
Ответ: 5 яблок
Одна треть ленты равна 6 см. Какова длина всей ленты?
- Целая лента состоит из трёх таких частей.
- 6 · 3 = 18.
Ответ: 18 см
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Найдите три четвёртых от 28 и проверьте, что результат меньше целого.
Подсказка: Сначала найдите одну четверть делением на 4, затем возьмите три такие части.
Ответ и самопроверка: 28 : 4 = 7; 7 · 3 = 21. Число 21 меньше 28, проверка по смыслу выполнена.
Задание 3.2: Найдите две трети от 24 и покажите на вычислениях размер одной трети.
Подсказка: Сначала разделите целое на три равные части, потом возьмите две.
Ответ и самопроверка: 24 : 3 = 8 — одна треть; 8 · 2 = 16 — две трети.
Типичные ошибки
- делить целое на неравные части и называть их долями
- умножать на знаменатель при поиске одной доли
- считать, что одна восьмая больше одной четверти одного целого
Словарь
Опорные понятия
- сотня
- десять десятков, или сто единиц
- квадратный сантиметр
- площадь квадрата со стороной один сантиметр
- доля
- одна из равных частей целого
- сутки
- промежуток времени, равный 24 часам
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.