Площадь и данные
Различаем периметр и площадь, читаем диаграммы и формулируем точные алгоритмы.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- вычислять периметр и площадь прямоугольника
- извлекать и сравнивать данные из таблиц и диаграмм
- различать истинные и ложные высказывания и выполнять алгоритмы
периметр и площадь
Граница и место внутри
Периметр измеряет длину границы фигуры, а площадь — размер области внутри неё. Поэтому периметр записывают в линейных единицах, а площадь — в квадратных. У прямоугольника стороны a и b дают периметр 2 · (a + b) и площадь a · b.
Для прямоугольника P = 2 · (a + b), S = a · b; формулы отвечают на разные вопросы и имеют разные единицы.
Разбираемся глубже
Граница и поверхность — разные величины
Периметр показывает длину рамки вокруг фигуры и измеряется линейными единицами. Площадь показывает, сколько единичных квадратов покрывает фигуру, поэтому измеряется квадратными единицами.
Фигуры могут иметь одинаковый периметр, но разные площади. Поэтому формулу выбирают не по слову «прямоугольник», а по вопросу: требуется длина границы или место внутри неё.
У квадрата все стороны равны, поэтому P = 4 · a, а площадь S = a · a. Даже при одном значении стороны ответы имеют разные единицы и описывают разные свойства фигуры.
Алгоритм
Как действовать
- определить, спрашивают о границе или внутренней области
- записать длины сторон в одинаковых единицах
- выбрать формулу периметра или площади
- вычислить и указать линейную либо квадратную единицу
Разбор
Примеры по шагам
Найдите периметр и площадь прямоугольника 8 см на 5 см.
- Периметр: 2 · (8 + 5) = 2 · 13 = 26 см.
- Площадь: 8 · 5 = 40 см².
Ответ: P = 26 см, S = 40 см²
Площадь прямоугольника 36 см², одна сторона 4 см. Найдите другую сторону.
- Площадь равна произведению сторон.
- Неизвестная сторона равна 36 : 4 = 9 см.
Ответ: 9 см
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Для прямоугольника 8 см на 5 см найдите периметр и площадь, укажите единицы.
Подсказка: Для границы сложите стороны, для поверхности перемножьте соседние стороны.
Ответ и самопроверка: P = 2 · (8 + 5) = 26 см; S = 8 · 5 = 40 см².
Задание 1.2: Сторона квадрата 7 см. Найдите его периметр и площадь.
Подсказка: Для границы умножьте сторону на четыре, для площади — сторону на себя.
Ответ и самопроверка: P = 7 · 4 = 28 см; S = 7 · 7 = 49 см².
Типичные ошибки
- использовать произведение сторон для периметра
- записывать площадь в сантиметрах
- считать, что одинаковый периметр всегда означает одинаковую площадь
таблицы и диаграммы
Данные в строках и столбиках
Таблица хранит точные значения, а диаграмма помогает быстро увидеть отношения между ними. Высота столбика читается по шкале. Если одно деление шкалы означает несколько единиц, это нужно учесть при чтении.
Значение столбика находят по его высоте и цене деления шкалы; вывод должен опираться на данные, а не на внешний вид картинки.
Разбираемся глубже
Шкала превращает высоту в число
Одинаковая высота столбиков означает одинаковые значения только при общей шкале. Если одно деление равно двум единицам, столбик высотой в семь делений обозначает 14, а не 7.
Вывод по диаграмме должен содержать точное сравнение: на сколько больше, во сколько раз больше или какова сумма. Слова «намного выше» без вычисления не являются математическим выводом.
Таблица удобнее для точного поиска отдельных значений, диаграмма — для быстрого сравнения. Перевод одних и тех же данных из таблицы в диаграмму не должен менять ни одно число.
Алгоритм
Как действовать
- прочитать заголовок и подписи категорий
- определить цену одного деления шкалы
- считать нужные значения
- выполнить сравнение или действие и сформулировать вывод
Разбор
Примеры по шагам
На диаграмме одно деление означает 2 книги. Столбик класса 3А достигает 7 делений. Сколько книг прочитал класс?
- Каждое деление соответствует двум книгам.
- 7 · 2 = 14.
Ответ: 14 книг
В таблице: понедельник — 12 посетителей, вторник — 18, среда — 15. На сколько во вторник было больше, чем в понедельник?
- Выбираем значения 18 и 12.
- 18 − 12 = 6.
Ответ: на 6 посетителей
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: Столбики имеют высоту 8 и 5 делений, цена деления равна 2. На сколько отличаются значения?
Подсказка: Сначала переведите высоту каждого столбика в значение по шкале.
Ответ и самопроверка: Значения равны 16 и 10; разница 16 − 10 = 6.
Задание 2.2: В таблице записаны значения 14, 9 и 17. Найдите их сумму и назовите наибольшее.
Подсказка: Сложите все три значения по очереди, затем сравните их.
Ответ и самопроверка: 14 + 9 + 17 = 40; наибольшее значение — 17.
Типичные ошибки
- принимать одно деление шкалы за единицу без проверки
- сравнивать ширину столбиков вместо высоты
- делать вывод о категории, не сверив её подпись
логические высказывания и алгоритмы
Истина, ложь и точные команды
Высказывание — предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Алгоритм — конечная последовательность понятных команд. Порядок команд важен: перестановка шагов может изменить результат или сделать выполнение невозможным.
Истинное высказывание соответствует фактам; алгоритм должен иметь начало, конец и однозначные выполнимые шаги.
Разбираемся глубже
Высказывание можно проверить, команду — выполнить
Высказывание сообщает факт, которому можно приписать значение «истина» или «ложь». Вопрос и приказ сами по себе не являются высказываниями, потому что они ничего не утверждают.
Алгоритм должен давать одинаково понятный следующий шаг любому исполнителю. Команда «посчитай удобно» слишком расплывчата, а «сначала сложи числа в скобках» задаёт конкретное действие.
Ложность общего утверждения можно показать одним контрпримером. Чтобы опровергнуть фразу «все числа нечётные», достаточно назвать любое чётное число, например 2.
Алгоритм
Как действовать
- для высказывания проверить каждый факт или найти опровергающий пример
- для алгоритма определить начальное состояние и цель
- расположить команды в необходимом порядке
- выполнить шаги по очереди и проверить результат
Разбор
Примеры по шагам
Истинно ли высказывание: «Все двузначные числа больше 9»?
- Наименьшее двузначное число — 10.
- 10 больше 9, и остальные двузначные числа ещё больше.
Ответ: истинно
Расположите шаги для вычисления (8 + 4) : 3: разделить на 3; сложить 8 и 4; записать ответ.
- Сначала выполняем действие в скобках: 8 + 4 = 12.
- Затем делим 12 : 3 = 4.
- После вычисления записываем ответ.
Ответ: сложить, разделить, записать ответ 4
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Определите истинность утверждения «все чётные числа делятся на 2» и составьте алгоритм проверки числа 18.
Подсказка: Выполните деление на 2 и проверьте наличие остатка.
Ответ и самопроверка: Утверждение истинно; 18 : 2 = 9 без остатка, значит, 18 чётное.
Задание 3.2: Проверьте утверждение «всякое двузначное число больше 50» и приведите контрпример, если оно ложно.
Подсказка: Достаточно найти одно двузначное число, которое не больше 50.
Ответ и самопроверка: Утверждение ложно; например, 24 — двузначное число, но 24 < 50.
Типичные ошибки
- называть вопрос истинным или ложным высказыванием
- подтверждать общее утверждение одним примером
- выполнять команды алгоритма в случайном порядке
Словарь
Опорные понятия
- площадь
- величина, показывающая размер области внутри фигуры
- диаграмма
- наглядное представление числовых данных
- высказывание
- предложение, которое можно оценить как истинное или ложное
- алгоритм
- конечная последовательность точных команд
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.